Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1118
Известно, что при некоторых $x,y\in(0;\pi]$ ровно два из четырёх чисел \[ \sin^2 x,\quad \sin^2 y,\quad \sin^2 x+\cos^2 y+2-\cos^2 2x,\quad 2+\sin^2 2x \] равны между собой. Найдите наибольшее возможное значение выражения $\dfrac{x-y}{\pi}$.
Ответ:
Решение:
Решите неравенство \[ \left(1-\cos x\cos\dfrac{\pi}{8}\right)^2-\sin^2 x\sin^2\dfrac{\pi}{8}+\left(2\sin 2x-\sqrt{2}\right)^2\leqslant 0. \]
Ответ:
Решение:
Найдите количество целочисленных решений системы неравенств \[ \begin{cases} (x-0{,}3)^2\leqslant 440,\\ \sin x\geqslant 0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
а) Найдите все пары действительных чисел $(x;y)$ такие, что \[ (\sin\pi x+\sin\pi y)\sin\pi x=(\cos\pi x+\cos\pi y)\cos\pi x. \]
б) Сколько пар целых чисел $(x,y)$ удовлетворяют одновременно этому уравнению и неравенству \[ \arcsin\dfrac{x}{5}+\arccos\dfrac{y}{4}\lt \dfrac{3\pi}{2}? \]
б) Сколько пар целых чисел $(x,y)$ удовлетворяют одновременно этому уравнению и неравенству \[ \arcsin\dfrac{x}{5}+\arccos\dfrac{y}{4}\lt \dfrac{3\pi}{2}? \]
Ответ:
Решение:
Найдите количество пар $(x;y)$ таких, что $x,y\in\mathbb{Z}$ и \[ \begin{cases} \sin\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi y}{2}\right),\\ \cos\left(\dfrac{2\pi x+\pi y}{12}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi y}{12}\right),\\ |2x+y-45|+|y|\leqslant 45. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Про функцию $f(x)$ и некоторое положительное число $c$ известно, что \[ f(x+c)=\dfrac{\sqrt3 f(x)+1}{\sqrt3-f(x)} \] при всех значениях $x$. При каком наименьшем целом значении $k$ из интервала $(25;50)$ можно утверждать, что $f(x+kc)=f(x)$ при всех $x$?
Ответ:
Решение:
Вася придумал функцию $f(x)$ такую, что для любого действительного числа $x$ и для некоторого фиксированного положительного числа $k$ выполняется равенство \[ \left(\sqrt{3}-f(x)\right)f(x+k)=\sqrt{3}f(x)+1. \] При каком наибольшем целом значении $m$ из интервала $(30;50)$ можно утверждать, что \[ f(x+mk)=f(x) \] при всех действительных $x$?
Ответ:
Решение:
Сколько существует натуральных $n$ таких, что функция \[ f(x)=\cos nx\cdot\sin\dfrac{10x}{n} \] имеет период $6\pi$?
Ответ:
Решение:
Известно, что параболы $y=x^2+bx+c$ и $y=-x^2+px+q$ пересекаются в точке $(1;1)$. Проекция вершины второй параболы на ось $x$ на $4$ правее, чем проекция вершины первой параболы на эту же ось. Одна из точек пересечения первой параболы с осью $x$ есть $(2;0)$. Найдите $q$.
Ответ:
Решение:
Известно, что параболы $y=x^2+bx+c$ и $y=-x^2+px+q$ пересекаются в точке $(1;1)$. Проекция вершины второй параболы на ось $x$ на $4$ правее, чем проекция вершины первой параболы на эту же ось. Одна из точек пересечения первой параболы с осью $x$ есть $(2;0)$. Найдите коэффициент $q$.
Ответ:
Решение:
Когда к квадратному трёхчлену $f(x)$ прибавили $x^2$, его наименьшее значение увеличилось на 1, а когда из него вычли $x^2$, его наименьшее значение уменьшилось на 3. А как изменится наименьшее значение $f(x)$, если к нему прибавить $2x^2$?
Ответ:
Решение:
Известно, что для трёх последовательных натуральных значений аргумента квадратичная функция $f(x)$ принимает соответственно значения 6, 5 и 5. Найдите наименьшее возможное значение $f(x)$.
Ответ:
Решение:
Когда к квадратному трёхчлену $f(x)$ прибавили $3x^2$, его наименьшее значение увеличилось на $9$, а когда из него вычли $x^2$, его наименьшее значение уменьшилось на $9$. А как изменится наименьшее значение $f(x)$, если к нему прибавить $x^2$?
Ответ:
Решение:
Известно, что для трёх последовательных натуральных значений аргумента квадратичная функция $f(x)$ принимает значения $13$, $13$ и $35$ соответственно. Найдите наименьшее возможное значение $f(x)$.
Ответ:
Решение:
Даны две линейные функции $f(x)$ и $g(x)$ такие, что графики $y=f(x)$ и $y=g(x)$ — параллельные прямые, не параллельные осям координат. Найдите наименьшее значение функции $(g(x))^2+2f(x)$, если наименьшее значение функции $(f(x))^2+2g(x)$ равно 5.
Ответ:
Решение:
Даны две линейные функции $f(x)$ и $g(x)$ такие, что графики $y=f(x)$ и $y=g(x)$ — параллельные прямые, не параллельные осям координат. Известно, что график функции $y=(f(x))^2$ касается графика функции $y=11g(x)$. Найдите все значения $A$ такие, что график функции $y=(g(x))^2$ касается графика функции $y=Af(x)$.
Ответ:
Решение: