Поиск задач

За время освоения космического пространства на различных орбитах скопилось по данным NASA около 300 тысяч объектов космического мусора. Дальнейшее использование космического пространства в ближайшем будущем может быть существенно осложнено всё возрастающей угрозой столкновения с космическим мусором. Согласно результатам исследований, удаление $3-5$ крупных объектов в год с низких околоземных орбит позволяет предотвратить цепную реакцию роста объектов космического мусора в будущем. На данный момент работающей технологией по утилизации космического мусора является увод старых спутников. Это можно сделать с помощью аппаратов-захватчиков, которые буксируют мусор на орбиты для захоронения.
Рассмотрим плоскость орбиты захоронения. Пусть крупный фрагмент мусора движется в этой плоскости по эллиптической орбите c большой полуосью равной 5000 км, малой — 2500 км. (Для удобства вычислений все расчеты будем производить в тысячах километров.) Введем систему координат с началом отсчета в центре рассматриваемого эллипса, с осью абсцисс, направленной вдоль большой полуоси. Тогда уравнение траектории движения обломка запишется следующим образом: $x^2+4y^2=25$.
На некотором удалении по оси абсцисс находится межпланетная научная станция $S$. С нее стартует летательный аппарат-захватчик, который движется по параболической траектории: $(y+1)^2=-9\cdot(x-7)/4$. Он должен совершить манёвр по переходу с одной орбиты на другую и плавно подойти к обломку для изменения его скорости и направления движения.
Определите координаты точки касания указанных траекторий и угол, который образует с положительным направлением оси абсцисс касательная к параболической траектории в начальный момент времени в точке $S$.

Какую наименьшую длину может иметь отрезок $AB$, если точка $A$ принадлежит кривой \[ 5x^2+5y^2-10x-20y+24=0, \] а точка $B$ — одному из графиков семейства функций \[ y=\left(k^2+2k+3\right)|x-3|, \] $k\in\mathbb{R}$? В ответ запишите сумму квадрата найденной наименьшей длины и значения $k$, при котором эта длина достигается.

Какую наименьшую длину может иметь отрезок $AB$, если точка $A$ принадлежит кривой \[ y^2x^6-729=8yx^6-16x^6, \] а точка $B$ — множеству решений уравнения \[ |x|+|y-4|=3? \] В ответ запишите квадрат найденной наименьшей длины.

Какая наибольшая площадь может быть у прямоугольника, координаты вершин которого удовлетворяют уравнению \[ |y-x|=(y+x+1)(5-x-y), \] а стороны параллельны прямым $y=x$ и $y=-x$? В ответ запишите квадрат значения найденной площади.

В ходе исследований планет солнечной системы космический аппарат (КА) выполняет гравитационный маневр вблизи Сатурна. Вокруг планеты установлена зона безопасности полета для КА, учитывающая кольца и верхние слои атмосферы.
Для упрощения моделирования, будем считать, что маневр происходит в одной плоскости. Введем декартову систему координат на плоскости $xOy$. Центр масс планеты совпадает с началом координат $O(0;0)$.
Граница зоны безопасности — окружность радиуса $R=140$ тыс. км с центром в точке $O$. Траектория аппарата в плоскости маневра симметрична относительно оси $Oy$ и обладает следующим свойством: для любой точки траектории $P(x;y)$ расстояние до центра планеты $O$ равно расстоянию до прямой $L$, заданной уравнением $y=2R$. Аппарат движется так, что точка его максимального сближения с центром планеты лежит на оси $Oy$ и находится точно на границе зоны безопасности.
В некоторый момент времени телеметрия фиксирует положение аппарата в точке $S$, расстояние от которой до центра планеты составляет $r=175$ тыс. км. Специальная антенна аппарата ориентирована строго по вектору мгновенной скорости (направлена по касательной к траектории в точке $S$). Для ретрансляции данных используется спутник-ретранслятор $T$, расположенный на оси симметрии траектории в точке пересечения с линией сигнала антенны.
Определите расстояние от аппарата до спутника-ретранслятора $T$ в момент фиксации телеметрии. Ответ запишите в тысячах километров.

Медиана $BD$ треугольника $ABC$ равна $\sqrt{785}$. Через вершину $B$ проведена прямая, перпендикулярная стороне $AB$. На этой прямой лежит точка $O$, $\angle BOC=90^\circ$. Окружность с центром в точке $O$, проходящая через точку $A$, пересекает прямую $BO$ в точках $M$ и $N$. Найдите площадь треугольника $OAC$, если $MC=10\sqrt{17}$, тангенс угла $CAB$ равен $7/9$.

Как устроить полустанок? (старинная задача) В стороне от прямолинейного участка железнодорожного пути, в 20 км от него, лежит селение В. Где надо устроить полустанок С, чтобы суммарно проезд от А до В по железной дороге АС и по шоссе СВ отнимал возможно меньше времени? Скорость движения по железной дороге 0,8, а по шоссе 0,2 км в минуту.

На произвольной параболе даны точки $A$ и $B$. Точка $C$ выбрана на дуге параболы между $A$ и $B$, так, что треугольник $ABC$ имеет максимальную площадь. Прямая, проходящая через точку $C$ параллельно оси симметрии параболы, пересекает отрезок $AB$ в точке $M$. Найдите отношение $AM:MB$.

Какое наименьшее расстояние может быть между двумя точками, одна из которых лежит на графике функции $y=x^2$, другая — на кривой, заданной уравнением \[ 4x^2+4y^2-48x-24y+163=0. \] В ответ запишите квадрат найденного расстояния.

Современную жизнь невозможно представить без спутниковой связи и навигации. В 202 году только тремя ведущими космическими державами произведено 126 успешных запусков спутников. По данным прикладного потребительского центра ГЛОНАСС в настоящее время в составе системы ГЛОНАСС задействовано 25 спутников, в системах GPS — 32, ГАЛИЛЕО — 26, БЕЙДОУ — 49 спутников. Возникает проблема безопасности их полетов.
а) Считая Землю шаром радиуса $R$, определите, какое наибольшее количество спутников может одновременно находиться на орбитах вокруг Земли на одной и той же высоте $H$ от ее поверхности так, чтобы расстояние между аппаратами было не меньше $\sqrt{2}(R+H)$.
б) Для найденного максимального количества спутников указать координаты возможного их расположения в системе координат с началом в центре Земли и осью абсцисс, направленной вдоль вектора, соединяющего центр Земли с одним из спутников.

Известно, что графики функций $f(x)=x^p$ и $g(x)=\ln x$ касаются (имеют общую точку, в которой касательные к обоим графикам совпадают). Найдите константу $p$ и точку касания.

На оси $Oy$ найдите точку $M$, через которую проходят две касательные к графику функции $y=0{,}5\left(x-(1/2)\right)^2$, угол между которыми равен $45^\circ$.

На прямой $x=1$ найдите точку $M$, через которую проходят две касательные к графику функции $y=x^2/4$, угол между которыми равен $45^\circ$.

Площадь ромба равна 8 кв. см. Каждую его сторону продлили на четверть своей длины в обе стороны. Концы всех этих отрезков соединили. Найдите площадь полученной фигуры.

Найдите площадь выпуклого четырёхугольника, имеющего равные диагонали, если длины отрезков, соединяющих середины его противоположных сторон, равны 13 и 7.

В треугольнике $MNK$ на стороне $MN$ взята точка $P$ так, что $MP:PN=2:3$, а на стороне $NK$ отмечена точка $Q$ так, что $NQ:QK=5:4$. Прямые $KP$, $MQ$ пересекаются в точке $O$. Найти площадь треугольника $KOQ$, если известно, что площадь треугольника $MOP$ равна 12.

В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ отмечены точки $N$ и $M$ так, что \[ BN:NM:MC=1:2:4. \] На стороне $AC$ отмечена точка $P$ так, что $AP:PC=3:2$. Отрезки $AN$ и $BP$ пересекаются в точке $K$, а отрезки $AM$ и $BP$ — в точке $T$. Найдите площадь треугольника $AKT$, если площадь треугольника $ABC$ равна 1035.

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Площади треугольников $AOB$ и $COD$ равны. Найдите площадь треугольника $AOB$, если известно, что $AB=13$, $BC=10$, $CD=15$, $DA=24$.

Внутри выпуклого четырехугольника пять прямых делят его на шесть четырехугольников, а две его противоположные стороны — на шесть одинаковых частей каждую. Найдите площадь четвертого из полученных четырехугольников, если сумма площадей первого, пятого и шестого равна 60.

Дан треугольник $ABC$ с углом $B$, равным $60^\circ$. На продолжениях сторон $AB$, $CB$ за точку $B$ взяты точки $K$, $L$ соответственно так, что $BK:AB=2:1$, $BL:CB=3:1$. На продолжении медианы $BM$ за точку $M$ взята точка $N$, причем $BN:BM=6:1$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если площадь треугольника $KLN$ равна $126\sqrt3$, а расстояние от точки $M$ до точки касания вписанной в треугольник $ABC$ окружности со стороной $AC$ равно 1.