Поиск задач

Через точку $O$ пересечения биссектрис треугольника $ABC$, провели прямую $KM$ параллельно стороне $AC$ ($K$ лежит на $AB$, $M$ лежит на $BC$). Найдите длину отрезка $KM$, если площадь четырёхугольника $AKMC$ составляет $11/36$ площади треугольника $ABC$, а разность периметров треугольников $ABC$ и $KBM$ равна 18.

По программе реновации было решено разобрать старый дом и на его месте построить новый. При разборе старого дома возникло две проблемы. 1) Скопление строительного лома перекрыло подход к некоторым точкам строительной площадки, между которыми необходимо было промерить расстояние. Прораб промерил расстояние от точки $C$ до точки $A$ и от точки $C$ до точки $B$ (см. рис.). Оказалось, что $AC=4$ м, $BC=10$ м. Кроме того, ему удалось определить расстояния $CR=1$ м, $VR=3$ м, $CV=2{,}5$ м для точек $R$ и $V$, расположенных на продолжениях прямых дорожек, соединяющих объекты $A$, $C$ и $C$, $B$ соответственно.
Определите расстояние между точками $A$ и $B$ (промерить это расстояние на площадке не представлялось возможным из-за завала) и площадь части строительной площадки $CADB$ при условии, что расстояния $CD$ и $BD$ вдвое больше расстояния $CB$.
2) Из земли торчал негнущийся кусок арматуры — штырь, высота которого над землей $0{,}5$ м. Попытки выдернуть его из земли не привели к успеху. Тогда рабочие сдвинули его бульдозером так, что конец штыря сравнялся с поверхностью земли и оказался на расстоянии $1{,}5$ м от первоначальной точки входа штыря в землю. Найдите длину части штыря, скрытую в земле, предполагая, что его нижний конец не сместился.

В треугольнике $ABC$, площадь которого равна $180\sqrt{3}$, проведены биссектриса $AD$ и высота $AH$. Окружность радиуса $\dfrac{105\sqrt{3}}{4}$ с центром, лежащим на прямой $BC$, проходит через точки $A$ и $D$. Найдите радиус описанной около треугольника $ABC$ окружности, если $BH^2-HC^2=768$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ углы при основании $AC$ равны $80^\circ$, боковая сторона \[ AB=\frac{2\cos10^\circ}{1-\cos40^\circ}. \] На сторонах $AB$ и $BC$ выбраны точки $E$ и $D$ соответственно, причём угол $CAD$ равен $50^\circ$, а угол $ACE$ равен $60^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $AED$.

В остроугольном треугольнике $ABC$ на медиане $AM$ выбирается точка $K$ так, что $AK=CM$. Через точку $K$ и вершину $B$ проводится прямая, которая пересекает сторону $AC$ в точке $E$. Величина угла $BEC$ в два раза больше величины угла $CAM$. Найдите величину угла $AMB$ в градусах.

В остроугольном треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ выбирается точка $D$ так, что $CD:DB=2:1$, а на отрезке $AD$ — точка $K$, при этом $AK=CD+DK$. Через точку $K$ и вершину $B$ проводится прямая, которая пересекает сторону $AC$ в точке $E$. Треугольник $AEK$ — равнобедренный ($AE=EK$). Найдите величину угла $ADC$ в градусах.

Точка $M$ принадлежит катету $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$, причем $AM=2$, $MC=16$. Отрезок $MH$ — высота треугольника $AMB$. Точка $D$ расположена на прямой $MH$ так, что угол $ADB$ равен $90^\circ$, и точки $C$ и $D$ лежат по одну сторону от прямой $AB$. Найдите длину отрезка $BL$, если $L$ — точка пересечения $BD$ и $AC$, а тангенс угла $ACH$ равен $1/18$.

Вычислить $\frac{1580\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}-x}$, где $x=\frac12\left(\sqrt{\frac{2016}{1580}}-\sqrt{\frac{1580}{2016}}\right)$.

Решите уравнение \[ \left(x^2+3x+2\right)\left(x^2+3x+3\right)\left(x^2+3x+4\right)\left(x^2+3x+5\right)=15. \]

Вычислить $x^3+3x$, где $x=\sqrt[3]{2+\sqrt5}-\frac{1}{\sqrt[3]{2+\sqrt5}}$.

Вычислить $\sqrt[3]{\frac{x}{2015+2016}}$, где $x$ — среднее гармоническое чисел \[ a=\dfrac{2016+2015}{2016^2+2016\cdot2015+2015^2}\quad\text{и}\quad b=\dfrac{2016-2015}{2016^2-2016\cdot2015+2015^2}. \] Средним гармоническим двух положительных чисел $a$ и $b$ называется число $c$ такое, что $\frac1c=\frac12\left(\frac1a+\frac1b\right)$.

Докажите, что число $\sqrt{2013\cdot 2016\cdot 2019\cdot 2022+81}$ является целым.

Решите уравнение \[ \left(x^3+x^2+x+1\right)\left(x^{11}+x^{10}+\ldots+x+1\right)=\left(x^7+x^6+\ldots+x+1\right)^2. \]

На новогодний корпоратив четверо сотрудников привели по одному ребенку. Для них в течение вечера разыгрывали шесть подарков. Какова вероятность, что ни один ребенок не ушел с праздника без подарка?

На автобазе имеется в наличии 5 красных, 6 синих и 5 желтых автобусов. Случайным образом составляется колонна из 7 автобусов. Какова вероятность, что первым в колонне будет красный автобус, а среди остальных нет красных, но зато ровно 4 синих?

В лаборатории имеются колбы двух размеров (объемом $V$ и объемом $V/3$) в суммарном количестве 100 штук, причем колб каждого размера не менее 2. Лаборант поочередно случайно выбирает две колбы, и первую из них полностью заполняет 70-процентным раствором соли, а вторую полностью заполняет 40-процентным раствором соли. Затем он сливает содержимое этих двух колб в одну чашу и определяет процентное содержание соли в ней. При каком наименьшем количестве больших колб $N$ событие «процентное содержание соли в чаше находится в пределах от $50\%$ до $60\%$ включительно» будет случаться реже события «при случайном бросании двух симметричных монет выпадает орел и решка (в любом порядке)»? Ответ обосновать.

Имеется одна подключенная к сети электрическая розетка, два удлинителя на три розетки каждый и одна настольная лампа в комплекте. Незнайка случайным образом воткнул все три вилки в 3 из 7 розеток. С какой вероятностью загорится лампа?

Буквы в симметричном слове АРБУЗУЗУБРА случайно переставили так, что полученное слово отличается от исходного. С какой вероятностью это слово снова будет симметричным? Ответ запишите в виде несократимой дроби.

Даны 5 карточек с буквами Л, И, М, О, Н и ещё $n$ карточек с буквой А. Найдите все $n$, при которых вероятность того, что из 4 случайно выбранных карточек будет можно сложить слово ЛАМА, получится максимальной.

Паша и Саша выбирают два числа в промежутке от 1 до 48 (могут выбрать и равные). Какова вероятность, что сумма выбранных ими чисел кратна 5? Если ответ не выражается конечной десятичной дробью, то результат округлите до сотых.