Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 383
Высоты $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Биссектриса угла $CBH$ пересекает отрезок $CH$ в точке $X$, биссектриса угла $BCH$ пересекает отрезок $BH$ в точке $Y$. Обозначим величину угла $XA_1Y$ через $\alpha$. Аналогично определим $\beta$ и $\gamma$. Найдите значение суммы $\alpha+\beta+\gamma$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AD$, $BE$ и $CF$ пересекаются в точке $H$. Три окружности с центрами в точках $D$, $E$, $F$, проходящие через $H$, пересекают прямые $BC$, $CA$ и $AB$ соответственно в шести различных точках. Докажите, что эти шесть точек можно разбить на две тройки так, чтобы для двух треугольников, образованных этими тройками точек, нашлась окружность, касающаяся всех шести прямых, содержащих стороны этих треугольников.
Ответ:
Решение:
Через каждую вершину четырёхугольника проведена прямая, проходящая через центр вписанной в него окружности. Три из этих прямых обладают тем свойством, что каждая из них делит площадь четырёхугольника на две равновеликие части.
а) Докажите, что и четвёртая прямая обладает тем же свойством.
б) Какие значения могут принимать углы этого четырёхугольника, если один из них равен $72^\circ$?
а) Докажите, что и четвёртая прямая обладает тем же свойством.
б) Какие значения могут принимать углы этого четырёхугольника, если один из них равен $72^\circ$?
Ответ:
Решение:
Дан описанный четырёхугольник $ABCD$ с тупым углом $ABC$. Лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $P$, а лучи $DA$ и $CB$ — в точке $Q$. Докажите, что $|AD-CD|\geqslant|r_1-r_2|$, где $r_1$ и $r_2$ — радиусы вписанных окружностей треугольников $PBC$ и $QAB$.
Ответ:
Решение:
На плоскости даны две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$, касающиеся внешним образом. На окружности $\omega_1$ выбран диаметр $AB$, а на окружности $\omega_2$ выбран диаметр $CD$. Рассмотрим всевозможные положения точек $A$, $B$, $C$ и $D$, при которых $ABCD$ — выпуклый описанный четырёхугольник, и пусть $I$ — центр его вписанной окружности. Найдите геометрическое место точек $I$.
Ответ:
Решение:
В куб с ребром $1$ поместили $8$ непересекающихся шаров (возможно, разного размера). Может ли сумма диаметров этих шаров быть больше $4$?
Ответ:
Решение:
Можно ли четырьмя плоскостями разрезать куб с ребром 1 на части так, чтобы для каждой из частей расстояние между любыми двумя её точками было:
а) меньше $4/5$;
б) меньше $4/7$?
Предполагается, что все плоскости проводятся одновременно, куб и его части не двигаются.
а) меньше $4/5$;
б) меньше $4/7$?
Предполагается, что все плоскости проводятся одновременно, куб и его части не двигаются.
Ответ:
Решение:
У Васи есть камень (однородный, без внутренних полостей), имеющий форму выпуклого многогранника, у которого есть только треугольные и шестиугольные грани. Вася утверждает, что он разбил этот камень на две части так, что можно сложить из них куб (без внутренних полостей). Могут ли слова Васи быть правдой?
Ответ:
Решение:
На гранях единичного куба отметили $8$ точек, которые служат вершинами меньшего куба. Найдите все значения, которые может принимать длина ребра этого куба.
Ответ:
Решение:
В тетраэдре $ABCD$ скрещивающиеся рёбра попарно равны. Через середину отрезка $AH_A$, где $H_A$ — точка пересечения высот грани $BCD$, провели прямую $h_A$ перпендикулярно плоскости $BCD$. Аналогичным образом определили точки $H_B$, $H_C$, $H_D$ и построили прямые $h_B$, $h_C$, $h_D$ соответственно для трёх других граней тетраэдра. Докажите, что прямые $h_A$, $h_B$, $h_C$, $h_D$ пересекаются в одной точке.
Ответ:
Решение:
Даны две треугольные пирамиды с общим основанием $ABC$. Их вершины $S$ и $R$ лежат по разные стороны от плоскости $ABC$. Все боковые рёбра одной пирамиды параллельны соответствующим боковым граням другой. Докажите, что объём одной пирамиды вдвое больше объёма другой.
Ответ:
Решение:
Имеются одна треугольная и одна четырёхугольная пирамиды, все рёбра которых равны 1. Покажите, как разрезать их на несколько частей и склеить из этих частей куб (без пустот и щелей, все части должны использоваться).
Ответ:
Решение:
У многогранника, изображенного на рисунке, грани — четыре правильных пятиугольника, четыре треугольника и два квадрата. Во сколько раз сторона верхнего квадрата больше стороны нижнего?
Ответ:
Решение:
Моток ниток проткнули насквозь $72$ цилиндрическими спицами радиуса $1$ каждая, в результате чего он приобрёл форму цилиндра радиуса $6$. Могла ли высота этого цилиндра оказаться также равной $6$?
Ответ:
Решение:
В квадратной песочнице, засыпанной ровным слоем песка высотой $1$, Маша и Паша делали куличи при помощи цилиндрического ведёрка высоты $2$. У Маши все куличи удались, а у Паши — рассыпались и превратились в конусы той же высоты. В итоге весь песок ушёл на куличи, поставленные на дне песочницы отдельно друг от друга. Чьих куличей оказалось в песочнице больше: Машиных или Пашиных?
Ответ:
Решение:
Женя красила шарообразное яйцо последовательно в пяти красках, погружая его в стакан с очередной краской так, чтобы окрашивалась ровно половина площади поверхности яйца (полсферы). В результате яйцо окрасилось полностью. Докажите, что одна из красок была лишней, то есть если бы Женя не использовала эту краску, а в другие краски погружала бы яйцо так же, то оно всё равно окрасилось бы полностью.
Ответ:
Решение:
Можно ли, применяя к числу $2$ функции $\sin$, $\cos$, $\mathrm{tg}$, $\mathrm{ctg}$, $\arcsin$, $\arccos$, $\mathrm{arctg}$, $\mathrm{arcctg}$ в любом количестве и в любом порядке, получить число $2010$?
Ответ:
Решение:
Имеются абсолютно точные двухчашечные весы и набор из 50 гирь, веса которых равны $\operatorname{arctg} 1$, $\operatorname{arctg}\frac12$, $\operatorname{arctg}\frac13$, $\ldots$, $\operatorname{arctg}\frac1{50}$. Докажите, что можно выбрать 10 из них и разложить по 5 гирь на разные чаши весов так, чтобы установилось равновесие.
Ответ:
Решение:
Мальчик едет на самокате от одной автобусной остановки до другой и смотрит в зеркало, не появился ли сзади автобус. Как только мальчик замечает автобус, он может изменить направление движения. При каком наибольшем расстоянии между остановками мальчик гарантированно не упустит автобус, если он знает, что едет со скоростью втрое меньшей скорости автобуса и способен увидеть автобус на расстоянии не более 2 км?
Ответ:
Решение:
Три спортсмена стартовали одновременно из точки $A$ и бежали по прямой в точку $B$ каждый со своей постоянной скоростью. Добежав до точки $B$, каждый из них мгновенно повернул обратно и бежал с другой постоянной скоростью к финишу в точке $A$. Их тренер бежал рядом и все время находился в точке, сумма расстояний от которой до участников забега была наименьшей. Известно, что расстояние от $A$ до $B$ равно $60$ м и все спортсмены финишировали одновременно. Мог ли тренер пробежать меньше $100$ м?
Ответ:
Решение: