Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 561
Сколько натуральных чисел, делящихся на 4 и меньших 1000, не содержат в десятичной записи ни одной из цифр 3, 4, 5, 7 и 9?
Ответ:
Решение:
Сколькими способами можно разложить число 10000 на три натуральных множителя, ни один из которых не делится на 10? Считаем, что разложения, отличающиеся только порядком сомножителей, не различаются.
Ответ:
Решение:
Натуральные числа, у которых сумма цифр равна 5, упорядочили по возрастанию. Какое число стоит на $111$-м месте?
Ответ:
Решение:
Натуральные числа, у которых сумма цифр равна 5, упорядочили по возрастанию. Какое число стоит на $121$-м месте?
Ответ:
Решение:
Натуральные числа, у которых сумма цифр равна 5, упорядочили по возрастанию. Какое число стоит на $122$-м месте?
Ответ:
Решение:
Тринадцать миллионеров приехали на экономический форум и поселились в отеле «Super Luxury+». В отеле есть номера трёх различных типов: 6-звёздочные, 7-звёздочные, и 8-звёздочные. Надо расселить миллионеров, причём так, чтобы использовать все три типа номеров (т. е. хотя бы одного человека поселить в 6-звёздочный номер, хотя бы одного — в 7-звёздочный и хотя бы одного — в 8-звёздочный). При этом нельзя более богатого миллионера селить в номер с меньшим количеством звёздочек, чем у менее богатого.
Сколькими способами их можно расселить (состояния у всех миллионеров попарно разные)?
Сколькими способами их можно расселить (состояния у всех миллионеров попарно разные)?
Ответ:
Решение:
У Феоктиста Аристарховича есть $14$ китайских ваз династии Цин, причём никакие две не были сделаны в один год. Вазы надо распределить по трём полкам, причём на каждую полку надо поставить хотя бы одну вазу и нельзя более древнюю вазу ставить ниже, чем менее древнюю. Найдите количество таких способов расстановки, если порядок ваз на одной полке не учитывается.
Ответ:
Решение:
Школьный тренер решил наградить $12$ школьников, которые пробежали дистанцию за лучшее время. Каждого из них надо наградить «золотой», «серебряной» или «бронзовой» медалью. Надо использовать все три типа медалей, причём того, кто пришел к финишу раньше, нельзя награждать менее ценной медалью, чем того, кто пришел позже.
Сколькими способами тренер может распределить медали (время у всех бегунов разное)?
Сколькими способами тренер может распределить медали (время у всех бегунов разное)?
Ответ:
Решение:
Есть $7$ красных, $6$ белых, $8$ желтых и $5$ черных шаров, все шары пронумерованы различными числами. Сколькими способами можно выбрать $4$ шара, так, чтобы не все были одного цвета и не все разных цветов? Способы, отличающиеся только порядком шаров, считаем одинаковыми.
Ответ:
Решение:
На международный чемпионат по игре в StarCraft съехалось 100 участников. Игра идёт на выбывание, т. е. в каждом матче участвует два игрока, проигравший выбывает из участия в чемпионате, а выигравший — остаётся. Найдите наибольшее возможное количество участников, которые выиграли ровно две партии.
Ответ:
Решение:
На международный чемпионат по настольному теннису съехалось 200 участников. Игра идёт на выбывание, т. е. в каждом матче участвует два игрока, проигравший выбывает из участия в чемпионате, а выигравший — остаётся. Найдите наибольшее возможное количество участников, которые выиграли не менее трёх партий.
Ответ:
Решение:
Назовём число $x$ «20-подпирающим», если для любых 20 действительных чисел $a_1,\ldots,a_{20}$, сумма которых является целым числом, найдётся хотя бы одно, для которого $\left|a_i-\frac12\right|\geqslant x$.
В ответе укажите наибольшее 20-подпирающее число $x$, округлённое до тысячных по стандартным математическим правилам.
В ответе укажите наибольшее 20-подпирающее число $x$, округлённое до тысячных по стандартным математическим правилам.
Ответ:
Решение:
На прямой расположены $15$ точек $A_1, \ldots, A_{15}$, идущие с промежутками 1 см. Петя строит окружности по следующим правилам.
а) Окружности не пересекаются и не касаются.
b) Внутри каждой окружности есть по крайней мере одна из указанных точек $A_1, \ldots, A_{15}$.
c) Ни одна из этих точек не лежит на окружности.
d) Различные окружности содержат внутри себя различные наборы точек. Т. е., например, если какая-то окружность содержит точки $A_1$ и $A_2$ внутри, а остальные снаружи, то вторую окружность, содержащую только $A_1$ и $A_2$ внутри, построить уже нельзя.
Какое наибольшее количество окружностей Петя сможет построить по этим правилам?
а) Окружности не пересекаются и не касаются.
b) Внутри каждой окружности есть по крайней мере одна из указанных точек $A_1, \ldots, A_{15}$.
c) Ни одна из этих точек не лежит на окружности.
d) Различные окружности содержат внутри себя различные наборы точек. Т. е., например, если какая-то окружность содержит точки $A_1$ и $A_2$ внутри, а остальные снаружи, то вторую окружность, содержащую только $A_1$ и $A_2$ внутри, построить уже нельзя.
Какое наибольшее количество окружностей Петя сможет построить по этим правилам?
Ответ:
Решение:
Назовём число $x$ «$25$-подпирающим», если для любых $25$ действительных чисел $a_1, \ldots, a_{25}$, сумма которых является целым числом, найдётся хотя бы одно, для которого $\left|a_i-\frac12\right|\geqslant x$.
В ответе укажите наибольшее $25$-подпирающее число $x$, округлённое до сотых по стандартным математическим правилам.
В ответе укажите наибольшее $25$-подпирающее число $x$, округлённое до сотых по стандартным математическим правилам.
Ответ:
Решение:
На прямой расположены $14$ точек $A_1, \ldots, A_{14}$, идущие с промежутками 1 см. Коля строит окружности по следующим правилам.
а) Окружности не пересекаются и не касаются.
b) Внутри каждой окружности есть по крайней мере одна из указанных точек $A_1, \ldots, A_{14}$.
c) Ни одна из этих точек не лежит на окружности.
d) Различные окружности содержат внутри себя различные наборы точек. Т. е., например, если какая-то окружность содержит точки $A_1$ и $A_2$ внутри, а остальные снаружи, то вторую окружность, содержащую только $A_1$ и $A_2$ внутри, построить уже нельзя.
Какое наибольшее количество окружностей Коля сможет построить по этим правилам?
а) Окружности не пересекаются и не касаются.
b) Внутри каждой окружности есть по крайней мере одна из указанных точек $A_1, \ldots, A_{14}$.
c) Ни одна из этих точек не лежит на окружности.
d) Различные окружности содержат внутри себя различные наборы точек. Т. е., например, если какая-то окружность содержит точки $A_1$ и $A_2$ внутри, а остальные снаружи, то вторую окружность, содержащую только $A_1$ и $A_2$ внутри, построить уже нельзя.
Какое наибольшее количество окружностей Коля сможет построить по этим правилам?
Ответ:
Решение:
Назовём число $x$ «$50$-подпирающим», если для любых $50$ действительных чисел $a_1, \ldots, a_{50}$, сумма которых является целым числом, найдётся хотя бы одно, для которого $\left|a_i-\frac12\right|\geqslant x$.
В ответе укажите наибольшее $50$-подпирающее число $x$, округлённое до сотых по стандартным математическим правилам.
В ответе укажите наибольшее $50$-подпирающее число $x$, округлённое до сотых по стандартным математическим правилам.
Ответ:
Решение:
На прямой расположены $16$ точек $A_1, \ldots, A_{16}$, идущие с промежутками 1 см. Миша строит окружности по следующим правилам.
а) Окружности не пересекаются и не касаются.
b) Внутри каждой окружности есть по крайней мере одна из указанных точек $A_1, \ldots, A_{16}$.
c) Ни одна из этих точек не лежит на окружности.
d) Различные окружности содержат внутри себя различные наборы точек. Т. е., например, если какая-то окружность содержит точки $A_1$ и $A_2$ внутри, а остальные снаружи, то вторую окружность, содержащую только $A_1$ и $A_2$ внутри, построить уже нельзя.
Какое наибольшее количество окружностей Миша сможет построить по этим правилам?
а) Окружности не пересекаются и не касаются.
b) Внутри каждой окружности есть по крайней мере одна из указанных точек $A_1, \ldots, A_{16}$.
c) Ни одна из этих точек не лежит на окружности.
d) Различные окружности содержат внутри себя различные наборы точек. Т. е., например, если какая-то окружность содержит точки $A_1$ и $A_2$ внутри, а остальные снаружи, то вторую окружность, содержащую только $A_1$ и $A_2$ внутри, построить уже нельзя.
Какое наибольшее количество окружностей Миша сможет построить по этим правилам?
Ответ:
Решение:
Ольга Ивановна, классная руководительница 5Б, ставит «Математический балет». Она хочет расставить мальчиков и девочек так, чтобы на расстоянии $5$ м от каждой девочки было ровно $2$ мальчика. Какое наибольшее количество девочек сможет участвовать в балете, если известно, что в нем участвуют $5$ мальчиков?
Ответ:
Решение:
Петя строит замок из кубиков. В какой-то момент он изобразил недостроенный замок в трех проекциях: вид спереди, вид сбоку и вид сверху. Какое наименьшее количество кубиков может быть изображено на виде сверху?
Ответ:
Решение: