Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1118
Центр окружности $\omega$ лежит на окружности $\Omega$, хорда $AB$ окружности $\Omega$ касается $\omega$ в точке $C$ так, что $AC:CB=7$. Найдите длину $AB$, если известно, что радиусы $\omega$ и $\Omega$ равны $1$ и $5$ соответственно.
Ответ:
Решение:
Окружности $\Omega$ и $\omega$ радиусов $5$ и $3$ соответственно касаются друг друга внутренним образом в точке $T$. Прямая $\ell$ пересекает окружность $\omega$ в точках $B$ и $C$, а окружность $\Omega$ — в точках $A$ и $D$, причём $B$ лежит между $A$ и $C$, $C$ лежит между $B$ и $D$, а центры окружностей лежат по одну сторону от $\ell$. Известно, что $AB:BC:CD=1:4:7$. Найдите $AC^2$. При необходимости округлите ответ до трёх знаков после запятой.
Ответ:
Решение:
Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон $CB$ и $CA$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Прямая, проходящая через точку $B$ параллельно $MN$, пересекает окружность в двух точках, из которых точка $P$ — ближайшая к точке $B$. Найдите $PM$, если известно, что $BP=17$ и $MN=153$.
Ответ:
Решение:
Окружности $\Omega$ и $\omega$ радиусов 5 и 4 соответственно касаются друг друга внешним образом в точке $T$. Прямая $\ell$ пересекает окружность $\omega$ в точках $A$ и $B$, а окружность $\Omega$ — в точках $C$ и $D$, причём $B$ лежит между $A$ и $C$, $C$ лежит между $B$ и $D$, а центры окружностей лежат по одну сторону от $\ell$. Известно, что $AB:BC:CD=4:1:6$. Найдите $BC^2$. При необходимости округлите ответ до трёх знаков после запятой.
Ответ:
Решение:
Центр окружности $\omega$ лежит на окружности $\Omega$, диаметр $AB$ окружности $\Omega$ касается $\omega$ в точке $C$ так, что $AC=1$ и $BC=16$. Найдите длину общей касательной к окружностям $\omega$ и $\Omega$.
Ответ:
Решение:
Две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$, а их общая касательная имеет с $\omega_1$ и $\omega_2$ общие точки $C$ и $D$ соответственно, причём точка $B$ расположена ближе к прямой $CD$, чем точка $A$. Луч $CB$ пересекает $\omega_2$ в точках $B$ и $E$. Найдите отношение $ED:CD$, если диагональ $AD$ четырёхугольника $ACDE$ делит отрезок $CE$ в отношении $2:5$, считая от вершины $C$.
Ответ:
Решение:
Внутри прямоугольника $PQST$ расположены окружности $\Omega$ и $\omega$, касающиеся друг друга в точке $C$. Известно, что окружность $\Omega$ касается сторон $PQ$, $PT$, $ST$, а окружность $\omega$ — сторон $PQ$ и $QS$; кроме того, прямая $CS$ является общей касательной к окружностям. Найдите радиус $R$ окружности $\Omega$, если известно, что радиус окружности $\omega$ есть $r=3$. Ответ округлите до трёх знаков после запятой.
Ответ:
Решение:
Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ имеют радиусы $5$ и $8$, а расстояние между их центрами больше $13$. Оказалось, что их общие внутренние касательные перпендикулярны. Найдите площадь треугольника, ограниченного одной общей внешней и двумя общими внутренними касательными к этим окружностям.
Ответ:
Решение:
Центр окружности $\omega$ радиуса $R$ расположен на гипотенузе $AC$ треугольника $ABC$. Известно, что $\omega$ пересекает $AC$ в точках $P$ и $E$ ($P$ лежит между $A$ и $E$) и касается обоих катетов треугольника $ABC$. Найдите $CE$, если $AP=4$, а радиус окружности $\omega$ равен $10{,}5$.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABKD$ вписан в окружность $\Omega$ радиуса $\sqrt{17}$. На стороне $KD$ выбрана точка $C$ так, что $\angle BCD=90^\circ$. Окружность $\omega$ радиуса $4$, описанная вокруг треугольника $BCK$, касается отрезка $AD$ и прямой $AB$. Найдите длину отрезка $AB$, угол $BAD$ и площадь четырёхугольника $ABCD$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ сторона $AC$ равна 6, а угол $ACB$ равен $120^\circ$. Окружность $\Omega$ радиуса $\sqrt3$ касается сторон $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $L$ соответственно и пересекает сторону $AB$ в точках $M$ и $N$ ($M$ лежит между $A$ и $N$) так, что отрезок $MK$ параллелен $AC$. Найдите длины отрезков $CL$, $MK$, $AB$ и площадь треугольника $ANL$.
Ответ:
Решение:
Окружности $\omega$ и $\Omega$ касаются внешним образом в точке $F$, а их общая внешняя касательная касается окружностей $\omega$ и $\Omega$ соответственно в точках $A$ и $B$. Прямая $\ell$ проходит через точку $B$, вторично пересекает окружность $\Omega$ в точке $C$, а также пересекает $\omega$ в точках $D$ и $E$ (точка $D$ расположена между $C$ и $E$). Общая касательная окружностей, проходящая через точку $F$, пересекает прямые $AB$ и $BE$ в точках $P$ и $H$ соответственно (точка $H$ лежит между точками $P$ и $F$). Известно, что $BC=60$, $DH=HC=2$. Найдите длину отрезка $HP$ и радиусы обеих окружностей.
Ответ:
Решение:
Окружности $\Omega$ и $\omega$ касаются внешним образом в точке $F$, а их общая внешняя касательная касается окружностей $\Omega$ и $\omega$ соответственно в точках $A$ и $B$. Прямая $\ell$ проходит через точку $B$, вторично пересекает окружность $\omega$ в точке $C$, а также пересекает $\Omega$ в точках $D$ и $E$ (точка $D$ расположена между $C$ и $E$). Общая касательная окружностей, проходящая через точку $F$, пересекает прямые $AB$ и $BE$ в точках $P$ и $H$ соответственно (точка $F$ лежит между точками $P$ и $H$). Известно, что $BC=42$, $DH=HC=4$. Найдите длину отрезка $HP$ и радиусы обеих окружностей.
Ответ:
Решение:
а) Две параллельные прямые $\ell_1$ и $\ell_2$ касаются окружности $\omega_1$ с центром $O_1$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Окружность $\omega_2$ с центром $O_2$ касается прямой $\ell_1$ в точке $D$, пересекает прямую $\ell_2$ в точках $B$ и $E$ и пересекает вторично окружность $\omega_1$ в точке $C$ (при этом точка $O_2$ лежит между прямыми $\ell_1$ и $\ell_2$). Известно, что отношение площади четырёхугольника $BO_1CO_2$ к площади треугольника $O_2BE$ равно $\frac32$. Найдите отношение радиусов окружностей $\omega_2$ и $\omega_1$.
б) Найдите эти радиусы, если дополнительно известно, что $BD=1$.
б) Найдите эти радиусы, если дополнительно известно, что $BD=1$.
Ответ:
Решение:
а) Две параллельные прямые $\ell_1$ и $\ell_2$ касаются окружности $\omega_1$ с центром $O_1$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Окружность $\omega_2$ с центром $O_2$ касается прямой $\ell_1$ в точке $D$, пересекает прямую $\ell_2$ в точках $B$ и $E$, а также вторично пересекает окружность $\omega_1$ в точке $C$ (при этом точка $O_2$ лежит между прямыми $\ell_1$ и $\ell_2$). Известно, что отношение площади четырёхугольника $BO_1CO_2$ к площади треугольника $O_2BE$ равно 2. Найдите отношение радиусов окружностей $\omega_2$ и $\omega_1$.
б) Найдите эти радиусы, если дополнительно известно, что $BD=2$.
б) Найдите эти радиусы, если дополнительно известно, что $BD=2$.
Ответ:
Решение:
Две параллельные прямые $\ell_1$ и $\ell_2$ касаются окружности $\omega_1$ c центром $O_1$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Окружность $\omega_2$ с центром $O_2$ касается прямой $\ell_1$ в точке $D$, пересекает прямую $\ell_2$ в точках $B$ и $E$, а также вторично пересекает окружность $\omega_1$ в точке $C$ (при этом точка $O_2$ лежит между прямыми $\ell_1$ и $\ell_2$). Известно, что отношение площади четырёхугольника $BO_1CO_2$ к площади треугольника $O_2BE$ равно $\frac54$. Найдите отношение радиусов окружностей $\omega_2$ и $\omega_1$.
Ответ:
Решение:
Остроугольный треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega$ с центром $O$. Окружность, проходящая через точки $A$, $O$ и $C$, пересекает отрезок $BC$ в точке $P$. Касательные к $\omega$, проведённые через точки $A$ и $C$, пересекаются в точке $T$. Отрезок $TP$ пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Известно, что площади треугольников $APK$ и $CPK$ равны соответственно 6 и 4.
а) Найдите площадь треугольника $ABC$.
б) Пусть дополнительно известно, что $\angle ABC=\operatorname{arctg}\frac75$. Найдите $AC$.
а) Найдите площадь треугольника $ABC$.
б) Пусть дополнительно известно, что $\angle ABC=\operatorname{arctg}\frac75$. Найдите $AC$.
Ответ:
Решение:
Окружности $\Omega$ и $\omega$ касаются в точке $A$ внутренним образом. Отрезок $AB$ — диаметр большей окружности $\Omega$, а хорда $BC$ окружности $\Omega$ касается $\omega$ в точке $D$. Луч $AD$ повторно пересекает $\Omega$ в точке $E$. Прямая, проходящая через точку $E$ перпендикулярно $BC$, повторно пересекает $\Omega$ в точке $F$. Найдите радиусы окружностей, угол $AFE$ и площадь треугольника $AEF$, если известно, что $CD=8$, $BD=17$.
Ответ:
Решение:
Даны равнобокая трапеция $ABCD$ ($AD$ и $BC$ — основания, $AD\gt BC$) и окружность $\omega$ с центром $C$, касающаяся стороны $AD$. Касательные к $\omega$, проведённые из точки $B$, пересекают прямую $AD$ в точках $P$ и $Q$ (точка $P$ лежит между $Q$ и $D$). На продолжении стороны $CB$ за точку $B$ выбрана точка $N$ так, что $\angle CPN$ — прямой. Найдите углы $ADC$, $NQC$ и площадь четырёхугольника $NCDQ$, если известно, что $\angle NCP=\operatorname{arctg}\frac{12}{5}$, $AP=\frac{13}{2}$, $NC=13$.
Ответ:
Решение:
На декартовой плоскости имеется квадратный бильярдный стол с вершинами в точках $(0;0)$, $(0;10)$, $(10;0)$ и $(10;10)$ и шар в точке $(3;4)$. Шар при ударе по нему попал в нижнюю правую лузу (точка $(10;0)$), отскочив сначала от верхнего борта, потом от правого, далее от нижнего, потом от левого и, наконец, снова от верхнего. Какое расстояние преодолел шар перед тем, как попасть в лузу? (Считайте, что шар и луза — материальные точки.)
Ответ:
Решение: