Поиск задач

На острове рыцарей и лжецов рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. В школе на этом острове учатся как рыцари, так и лжецы в одном классе. Однажды учитель спросил у четырёх детей Ану, Бану, Вану и Дану, кто из них сделал домашнее задание. Они ответили:

• Ану: Домашнее задание сделали Бану, Вану и Дану.
• Бану: Домашнее задание не сделали Ану, Вану и Дану.
• Вану: Не верьте им, господин учитель! Ану и Бану лжецы!
• Дану: Нет, господин учитель, Ану, Бану и Вану рыцари!

Сколько рыцарей среди этих детей?

Из четырёх бегунов — Антона, Бориса, Виктора и Григория — второе место занял самый старший. При этом Антон пробежал дистанцию быстрее, чем Виктор, а Григорий — быстрее, чем Борис и Виктор. Известно также, что Борис старше Антона, а Виктор старше Григория. В каком порядке финишировали спортсмены?

В один прекрасный день Цветочный город был взбудоражен известием: кто-то выпил все запасы арбузного сока! В ходе разбирательства выяснилось, что виновен либо Пончик, либо Сиропчик (но не оба), но коротышки никак не могли решить, кто именно из двоих.
— Сок выпил Пончик, — заявила Кнопочка.
— А однажды он целую ракету украл, — поддержала её Звёздочка.
— Сиропчик никогда ничего не крал, — сказал Растеряйка.
— А ты, Растеряйка, каждый день теряешь вещи! — заявила Мушка.
— Звёздочка и Растеряйка говорят правду, — сказал Гунька.
— Звёздочка и Мушка говорят правду, — утверждал Торопыжка.
— Либо Растеряйка, либо Мушка говорят правду, а может они оба правы, — высказал своё мнение Авоська.
— Либо Гунька, либо Торопыжка, либо они оба говорят правду, — сказал Небоська.
— Звёздочка и Авоська говорят правду, — считал Пачкуля Пёстренький.
— Небоська говорит правду, а Пёстренький врёт, — утверждал Незнайка.
— Я ничего не могу понять! — закричал Цветик. — Во всех этих словах нет никакого смысла!
— И всё-таки кое-какие выводы из этих слов можно сделать, — возразил Знайка. — Я точно знаю, что либо и Незнайка, и Кнопочка правы, либо оба ошибаются.
Кто же выпил арбузный сок, если известно, что Знайка всегда говорит правду и никогда не ошибается?

В правильном 2017-угольнике провели все диагонали. Петя выбирает наугад какие-то $N$ диагоналей. При каком наименьшем $N$ среди выбранных диагоналей гарантированно найдутся две, имеющие одинаковую длину?

На бумажном правильном треугольнике со стороной 45 отметили 2023 красных точки. Можно ли на этом треугольнике разместить два правильных треугольника со стороной 1, не имеющих общих внутренних точек, так, чтобы внутри каждого из них не было ни одной красной точки?

Решите систему \[\begin{cases}\dfrac{9-4^{y+1}-3^x\cdot 2^{y+2}-9^x}{4^{y+1}+3^x\cdot 2^{y+1}-3^{x+1}-9}=\dfrac{3^x+2^{y+1}-3}{3^x-1},\\ 3^{x-1}\cdot 2^{y+1}=1.\end{cases}\]

Решите уравнение \[\left(3\log_{|5x-3|}2\cdot\log_2|5x-3|-x\right)\sqrt{5x^2-9x+4}=0.\]

Решите уравнение \[ \sqrt{\log_x\sqrt{2x}}\cdot\log_2 x=-1. \]

Решите уравнение $\log_{2/9}2=(\log_x2)\cdot(\log_{4x}2)\cdot(\log_{9x}2)$.

Решите систему уравнений \[\begin{cases} x^2y+x+xy^2+y+5=0,\\ x+y+xy+5=0.\end{cases}\]

Решите уравнение \[\sqrt{25\sin x+24}+2\sqrt{3}\cos x=0.\]

Решите уравнение \[ \left(\sqrt2\sin 3x+\sqrt{2+\cos 3x}\right)\left(2\cos\left(\sqrt2\arcsin x\right)-1\right)=0. \]

Что больше: $2\sin\dfrac{5\pi}{16}\cos\dfrac{\pi}{16}$ или сумма корней уравнения $|3\arccos x|=|\arcsin x|$?

Решите уравнение \[\sin(\sin x)=\sin(\cos x+1).\]

Решите уравнение \[\sin^2\left(\frac{2013x}{2}\right)\cdot\cos^2(2014x)\cdot\sin^2\left(\frac{2015x}{2}\right)=1.\]

Определите минимальное значение величины $|x+y|$ при условии, что числа $x$ и $y$ удовлетворяют соотношению \[ 5\cos(x+4y)-3\cos(x-4y)-4\sin(x-4y)=10. \]

Решите систему уравнений \[ \begin{cases} 2\sin x+\sin^2 y-\sin^2 x\cos^2 y=1, \\ 2\cos^2 x+4\sin x-\cos^3 y=5. \end{cases} \]

Решите систему \[ \begin{cases} \mathrm{tg}^2\,\pi(x-y)+\mathrm{ctg}^2\,\pi(x-y)=\sqrt{\dfrac{2x}{x^2+1}}+1, \\ x^2+y^2\leqslant 10. \end{cases} \]

Решите систему \[\begin{cases}4\cos^2x+\cos^25y=4\cos x\cos^65y,\\ \lg(x-y)^2\lt 2\lg(2\pi)-\lg5-\lg45.\end{cases}\]

Найдите сумму первых ста положительных корней уравнения \[ \cos(8\pi x)+2\cos(4\pi x)-\cos(2\pi x)+2\sin(\pi x)+3=0. \]