Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 561
Найдите наименьшее значение $|x-y|$ при условии \[ \left(\cos^4 x+1\right)\left(4\cos^4 y+1\right)=8\cos^3 x\cos^2 y,\quad x\in[\pi;2\pi],\quad y\in\left[\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right]. \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Определите, при каких значениях $n$ и $k$ уравнение \[ \sin x+\sin y=\dfrac{\pi k}{2017} \] является следствием уравнения \[ x+y=\dfrac{\pi n}{48}. \]
Ответ:
Решение:
Каково расстояние между ближайшими друг к другу корнями уравнения \[ \sin(\pi x)=\sin(3x^\circ)? \]
Ответ:
Решение:
Найдите все возможные значения величины \[ T=\frac{f(t)-f(0)}{f(t^2)+f(t)-2f(0)+2}, \] если $f(2x+y)-f(x+y)=2x$ для всех действительных значений $x$ и $y$.
Ответ:
Решение:
Функция $f(x)$ определена и положительна при всех $x\gt 0$. Известно, что $f(1)+f(2)=20$ и $f(a+b)=f(a)+f(b)+2\sqrt{f(a)f(b)}$ при всех $a,b\gt 0$. Найдите $f(2020)$.
Ответ:
Решение:
Найдите $f(2024)$, если \[ f(x)=|2x-1|-|2x-3|+6 \] при $x\in[0;2]$ и, кроме того, при всех целых значениях $x$ \[ \begin{cases} f(x+3)\leqslant f(x)+6,\\ f(x+2)\geqslant f(x)+4. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Найдите функцию $f(x)$, о которой известно, что \[ f(x)=\begin{cases} x\cdot f\left(\frac{2x+3}{x-2}\right)+3 & \text{при } x\neq2,\\ 0 & \text{при } x=2. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Парабола проходит через точки с координатами $(2019;2020)$, $(2020;0)$ и $(2021;2020)$. Найдите квадратный трехчлен $P(x)=ax^2+bx+c$, графиком которого она является. В ответе укажите ординату точки пересечения параболы с осью ординат.
Ответ:
Решение:
Пусть $f(x)=x^2+px+q$, где $p$, $q$ — некоторые коэффициенты. На какую наименьшую величину может отличаться наибольшее значение функции $g(x)=|f(x)|$ от наименьшего значения этой функции на отрезке $[2;6]$?
Ответ:
Решение:
Пусть $F(x)=x^2+ax+b$, где $a$, $b$ — некоторые коэффициенты. На какую наименьшую величину может отличаться наибольшее значение функции $G(x)=|F(x)|$ от наименьшего значения этой функции на отрезке $[-1;5]$?
Ответ:
Решение:
Космический зонд, двигаясь прямолинейно с постоянной скоростью, пролетает мимо Марса и каждый день ровно в 12:00 замеряет расстояние до этой планеты. Известно, что 1-го февраля расстояние было $5$ млн. км, 10-го февраля — $2$ млн. км и 13-го февраля — $3$ млн. км. Определите, когда зонд пройдет на минимальном расстоянии от Марса. В этой задаче Марс можно считать точкой.
Ответ:
Решение:
Отрезок $[-3;9]$ является множеством значений функции $f(x)$, отрезок $[-1;6]$ является множеством значений функции $g(x)$. На какую наибольшую величину может отличаться наибольшее значение функции $f(x)g(x)$ от наименьшего значения этой функции?
Ответ:
Решение:
Будем называть колебанием функции разницу между её наибольшим и наименьшим значением. Каким может быть максимальное колебание функции $f(x)g(x)$, если известно, что отрезок $[-8;4]$ является множеством значений функции $f(x)$, а отрезок $[-2;6]$ является множеством значений функции $g(x)$?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее значение выражения \[ \left(\frac1x+\frac1y\right)^2-3\cdot\left(\frac xy+\frac yx\right)+(x+y)^2 \] при условии, что \[ \frac1x+\frac1y=3. \]
Ответ:
Решение:
Будем обозначать $\max(A,B,C)$ наибольшее из чисел $A$, $B$, $C$. Найдите наименьшее значение величины \[ \max\left(x^2+|y|,\ (x+2)^2+|y|,\ x^2+|y-1|\right). \]
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее значение функции \[ f(x,y)=\frac{2015(x+y)}{\sqrt{2015x^2+2015y^2}} \] и укажите все пары $(x,y)$, при которых оно достигается.
Ответ:
Решение:
Найдите минимальное значение выражения \[ \sqrt{(x+6)^2+y^2}+\sqrt{x^2+(y-4)^2} \] при условии $2|x|+3|y|=6$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество натуральных делителей наибольшего целого значения выражения \[ xyz+xy+yz+zx+2023, \] если сумма неотрицательных чисел $x$, $y$ и $z$ равна 2022.
Ответ:
Решение: