Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 456
Существуют ли пять попарно различных целых чисел таких, что сумма любых четырех из них была бы квадратом натурального числа?
Ответ:
Решение:
Найдите все натуральные решения уравнения \[ 21\cdot a^2+12ab=2025+9\cdot b^2. \] Если такая пара $(a;b)$ единственная, то в ответе укажите сумму $a+b$. Если таких пар $(a;b)$ несколько, то в ответе укажите сумму всех найденных значений $a$, $b$. Если решений нет, укажите 0.
Ответ:
Решение:
Найдите все целочисленные решения неравенства \[ x^2y^2+y^2z^2+x^2+z^2-38(xy+z)-40(yz+x)+4xyz+761\leqslant 0. \]
Ответ:
Решение:
Все члены бесконечной геометрической прогрессии являются натуральными числами. Сумма третьего, пятого и седьмого членов этой прогрессии равна $819\cdot6^{2016}$. Найдите знаменатель прогрессии.
Ответ:
Решение:
Докажите, что при любых натуральных значениях $n$ число $5^n\left(2^{2n}-3^n\right)+2^n-7^n$ делится нацело на 65.
Ответ:
Решение:
В квадрате $6\times6$ расставили цифры так, что в верхней строке и левом столбце нет нулей. Всего получилось 12 шестизначных чисел: 6 из горизонтальных строк квадрата (слева-направо) и 6 из вертикальных столбцов квадрата (сверху-вниз). Коля, Вадим и Костя запомнили их, но оказалось, что каждый пропустил одно из 12 чисел. Коля заметил, что каждое из его одиннадцати чисел, делится на 11, Вадим обнаружил, что все его одиннадцать чисел делятся на 7, а Костя нашел у своих одиннадцати чисел общий делитель 13. Исходный квадрат они потеряли, а числа забыли, но им показалось, что где-то среди 12 чисел была комбинация цифр подряд 2021. Могло ли такое быть? Ответ обоснуйте.
Ответ:
Решение:
Дробь $1/5$ записана в виде бесконечной двоичной дроби. Сколько единиц среди первых 2022 цифр после запятой содержится в такой форме записи?
Ответ:
Решение:
Дробь $1/9$ записана в виде бесконечной двоичной дроби. Сколько единиц среди первых 2022 цифр после запятой содержится в такой форме записи?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Определите какое наименьшее значение может принимать НОК четырёх натуральных чисел, если их сумма равна 2023.
Ответ:
Решение:
Сколько разных положительных значений, не превышающих десять миллионов, принимает многочлен \[ P(x,y)=x^3+8y^3-3xy^2-6x^2y-x-2y \] при всевозможных целых числах $x$ и $y$?
Ответ:
Решение:
На шахматной доске $8\times8$ расставили 64 шашки с номерами от 1 до 64. 64 ученика по очереди подходят к ней и переворачивают только те шашки, номера которых делятся нацело на порядковый номер очередного ученика. «Дамка» — это шашка, которая перевернута нечетное количество раз. Сколько «дамок» будет на доске, после того как последний ученик отойдет от нее?
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное число, имеющее ровно $42$ натуральных делителя (включая единицу и само число).
Ответ:
Решение:
Найдите натуральное число, которое имеет десять натуральных делителей (включая единицу и само число), два из которых простые, а сумма всех его натуральных делителей равна $186$.
Ответ:
Решение:
Цена на товар повышалась в последний день каждого месяца на 5, $4\frac16$, $2\frac67$ или $6\frac23$ процентов. Сколько прошло месяцев к тому моменту, когда первоначальная цена товара увеличилась ровно на 50%?
Ответ:
Решение:
Найдите остаток от деления на 11 числа $A$: \[ A=\dfrac{2^1-2^2+2^3-\ldots+2^9-2^{10}}{-2^{-1}+2^{-2}-2^{-3}+\ldots-2^{-9}+2^{-10}}. \]
Ответ:
Решение:
Последовательность Фибоначчи задана рекуррентно $a_1=a_2=1$, $a_{n+1}=a_n+a_{n-1}$, $n\geqslant2$. С каким остатком число 3 в степени $a_{2022}$ делится на 13?
Ответ:
Решение:
Числа от 100 до 999 выписаны без пробелов. С каким остатком полученное 2700-значное число делится на 7?
Ответ:
Решение:
Для некоторого простого числа $p$ рассматривается числовая последовательность $x_1$; $x_2$; $x_3$; …, где $x_n$ равно остатку от деления $p^{n+2}$ на 24. Найдите разность $x_{2024}-x_{2020}$.
Ответ:
Решение: