Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 258
Решить неравенство \[ \log_{|x+2|}\left(4^{-x}-1\right)\lt \log_{|x+2|}\left(2^{-x}+1\right)+\log_{|x+2|}\left(2^{-x-1}+1\right). \]
Ответ:
Решение:
Решить неравенство \[\log_{(2x+9)}\left(24+2x-x^2\right)+\log_{\sqrt{24+2x-x^2}}(2x+9)\leqslant 3.\]
Ответ:
Решение:
Решить неравенство \[\dfrac{\log_{x^2}9}{\sqrt{\frac12+\log_{x^2}(x+1)}-\sqrt{\frac32}}\geqslant\dfrac{\sqrt2}{\log_3(x+1)-\log_9 x^4}.\]
Ответ:
Решение:
Решить неравенство \[\sqrt{\log_{(1-x)}\left(x^2+\dfrac12\right)}\lt \log_{(x-1)^2}\left(x^2-\dfrac{x}{2}+\dfrac12-x^3\right).\]
Ответ:
Решение:
Решить неравенство \[\dfrac{2}{\log_{1+x}\left(6+4x-2x^2\right)}\leqslant\dfrac{1}{2-\log_{6-2x}(1+x)}.\]
Ответ:
Решение:
Решить неравенство \[\sqrt{\log_{\frac{x+3|x|}{2}}\left(4x^2+3\right)+\dfrac{1}{\sqrt{|x|}}}\leqslant\log_{\frac{x+3|x|}{2}}\left(4x^2+3\right).\]
Ответ:
Решение:
Решить неравенство \[\dfrac{3}{\log_{\sqrt{1+x}}(1-x)+4}\leqslant\log_{(x+1)^2}\dfrac{x+1}{(x-1)^2}.\]
Ответ:
Решение:
Решить неравенство \[\sqrt{\log_{(x+10)}(x^2-2x-8)}+\sqrt{\log_{(x^2-2x-8)}(x+10)^2}\leqslant1+\sqrt2.\]
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $D$ — середина гипотенузы $AB$, а медианы треугольника пересекаются в точке $E$. Треугольник $ABC$ расположен на координатной плоскости $Oxy$ так, что точка $A$ лежит на оси $Oy$, точка $D$ симметрична точке $C$ относительно оси $Oy$, а точки $C$, $D$ и $E$ лежат на графике функции $y=\left(x^2-5\right)^2$. Найти уравнение прямой $CD$ и площадь треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
К графику функции $y=-\frac{x^2}{12}+x-\frac{16}{3}$ проведена касательная, пересекающая график функции $y=3|x+6|-\frac73$ в точках $A$ и $B$. Найти радиус окружности, описанной около треугольника с вершинами в точках $A$, $B$ и $C\left(-6;-\frac73\right)$, если $\angle CAB=2\arccos\frac{3}{\sqrt{10}}+\angle CBA$.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно $6$, точки $M$ и $N$ — середины ребер $AB$ и $B_1C_1$ соответственно, а точка $K$ расположена на ребре $DC$ так, что $DK=2KC$. Найти:
1) расстояние от точки $N$ до прямой $AK$;
2) расстояние между прямыми $MN$ и $AK$;
3) расстояние от точки $A_1$ до плоскости треугольника $MNK$.
1) расстояние от точки $N$ до прямой $AK$;
2) расстояние между прямыми $MN$ и $AK$;
3) расстояние от точки $A_1$ до плоскости треугольника $MNK$.
Ответ:
Решение:
Сторона основания $ABCD$ правильной пирамиды $SABCD$ равна 8, высота $SO$ равна 3. Точка $M$ — середина ребра $SB$, точка $K$ — середина ребра $BC$. Найти:
- объем пирамиды $AMSK$;
- угол между прямыми $AM$ и $SK$;
- расстояние между прямыми $AM$ и $SK$.
Ответ:
Решение:
Ребро правильного тетраэдра $ABCD$ равно $a$, точка $K$ — середина ребра $AB$, точка $E$ лежит на ребре $CD$ и $EC:ED=1:2$, точка $F$ — центр грани $ABC$. Найти угол между прямыми $BC$ и $KE$, расстояние между этими прямыми и радиус сферы, проходящей через точки $A$, $B$, $E$ и $F$.
Ответ:
Решение:
Сторона основания $ABC$ правильной пирамиды $ABCD$ равна $4\sqrt{3}$, $\angle DAB=\mathrm{arctg}\sqrt{\dfrac{37}{3}}$. Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ — середины ребер $AD$, $BD$, $CD$ соответственно. Найти:
1) угол между прямыми $BA_1$ и $AC_1$;
2) расстояние между прямыми $BA_1$ и $AC_1$;
3) радиус сферы, касающейся плоскости $ABC$ и отрезков $AC_1$, $BA_1$ и $CB_1$.
1) угол между прямыми $BA_1$ и $AC_1$;
2) расстояние между прямыми $BA_1$ и $AC_1$;
3) радиус сферы, касающейся плоскости $ABC$ и отрезков $AC_1$, $BA_1$ и $CB_1$.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ ребро основания $ABCD$ равно 1, а боковое ребро равно $\sqrt{\dfrac32}$. На ребре $SB$ выбрана точка $K$ так, что $BK=3KS$. Сфера $\omega$ с центром на отрезке $DK$ проходит через точки $S$ и $C$. Найти, в каком отношении центр сферы $\omega$ делит отрезок $DK$, радиус сферы $\omega$ и длину отрезка, который $\omega$ отсекает от прямой $CD$.
Ответ:
Решение:
Грани $ABC$ и $ABD$ пирамиды $ABCD$ ортогональны и являются равными равнобедренными треугольниками с общим основанием $AB$. Известно, что $AB=1$, $CD=2$. Найти угол между прямыми $AC$ и $BD$, расстояние между прямыми $AC$ и $BD$ и радиус сферы, описанной вокруг пирамиды $ABCD$.
Ответ:
Решение:
Графику функции $y=-x^3+ax^2+bx+c$ принадлежат точки $A$ и $B$, симметричные относительно прямой $x=2$. Касательные к этому графику в точках $A$ и $B$ параллельны между собой. Одна из этих касательных проходит через точку $(0;2)$, а другая — через точку $(0;6)$. Найти значения $a$, $b$ и $c$.
Ответ:
Решение:
Парабола $\Pi_2$ симметрична параболе $\Pi_1$ $y=ax^2$, $a\lt 0$ относительно точки $N(b;ab^2)$, где $b\gt 0$. Некоторая прямая пересекает каждую из парабол ровно в одной точке: $\Pi_1$ — в точке $B_1$, $\Pi_2$ — в точке $B_2$ так, что угол $B_1B_2N$ — прямой. Касательная к параболе $\Pi_1$, проведенная в точке $B_1$, пересекает отрезок $B_2N$ в точке $L$. Определить, в каком отношении точка $L$ делит отрезок $B_2N$. Найти значения параметров $a$ и $b$, при которых длина отрезка $B_1L$ минимальна, если площадь треугольника $B_1B_2N$ равна $\frac13$.
Ответ:
Решение:
График функции $y=x^3+ax^2+bx+c$, $c\lt 0$ пересекает ось ординат в точке $A$ и имеет ровно две общие точки $M$ и $N$ с осью абсцисс. Прямая, касающаяся этого графика в точке $M$, проходит через точку $A$. Найти $a$, $b$, $c$, если площадь треугольника $AMN$ равна $1$.
Ответ:
Решение: