Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 198
Партию новогодних шаров необходимо сложить в коробки так, чтобы в каждой коробке лежали шарики. Если использовать коробки вместимостью $90$ шаров, то ровно одна коробка останется не полностью заполненной. Если взять на $3$ коробки больше, но в которые помещается по $80$ шаров, то вновь ровно одна коробка останется не полностью заполненной. Если же взять ещё на $12$ коробок больше, но вместимостью $50$ шаров, то все коробки будут полными. Сколько шаров могло быть в партии?
Ответ:
Решение:
Из Москвы на Международный шахматный турнир в Нью-Васюках шахматисты всех команд (одинаковых по численности) добирались двумя способами. Некоторые команды заняли все места в $5$-местных и одной $2$-местной каютах парохода «Повелитель бурь». Другие команды предпочли занять все места в $7$-местных и одной $4$-местной каютах дирижабля «Скрябин». Сколько спортсменов было в команде, если занятых $7$-местных кают оказалось на одну больше, чем занятых $5$-местных?
Ответ:
Решение:
На первом складе в каждом ящике в среднем по $3$ бракованных изделия, а на втором складе — по $6$. С первого склада на второй перевезли $50$ ящиков, и среднее количество бракованных изделий в ящике на каждом из складов уменьшилось на $1$. Сколько всего ящиков на двух складах?
Ответ:
Решение:
В турнире по волейболу принимаются ставки на четыре команды. На первую команду ставки принимаются в соотношении $1:2$ (при выигрыше первой команды игрок получает сумму, которую он поставил на эту команду, и плюс двукратную сумму, т. е. получает в три раза больше поставленных денег, а при проигрыше деньги не возвращаются). На вторую команду ставки принимаются в соотношении $1:4$, на третью — $1:5$, на четвёртую — $1:6$. Можно ли так поставить, чтобы выиграть при любом исходе турнира?
Ответ:
Решение:
В турнире по мини-футболу принимаются ставки на четыре команды. На первую команду ставки принимаются в соотношении $1:5$ (при выигрыше первой команды игрок получает сумму, которую он поставил на эту команду, и плюс пятикратную сумму, т. е. получает в шесть раз больше поставленных денег, а при проигрыше деньги не возвращаются). На вторую команду ставки принимаются в соотношении $1:1$, на третью — $1:8$, на четвертую — $1:7$. Можно ли так поставить, чтобы выиграть при любом исходе турнира?
Ответ:
Решение:
В хирургическом отделении 4 операционных: I, II, III и IV. Утром они все были пусты. В какой-то момент началась операция в операционной I, через некоторое время — в операционной II, ещё через некоторое время — в III, а потом и в IV.
Закончились все четыре операции одновременно, и суммарная их продолжительность составила 2 часа 32 минуты. За 30 минут до момента завершения всех операций суммарная продолжительность уже идущих составляла 52 минуты, а ещё за 10 минут до этого — 30 минут. Продолжительности операций в каких операционных можно определить по этим данным, а в каких — нельзя?
Закончились все четыре операции одновременно, и суммарная их продолжительность составила 2 часа 32 минуты. За 30 минут до момента завершения всех операций суммарная продолжительность уже идущих составляла 52 минуты, а ещё за 10 минут до этого — 30 минут. Продолжительности операций в каких операционных можно определить по этим данным, а в каких — нельзя?
Ответ:
Решение:
Основания $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны $155$ и $13$ соответственно, а её диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{BC}$.
Ответ:
Решение:
Основания $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны $65$ и $31$ соответственно, а её диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{BC}$.
Ответ:
Решение:
Точка $O$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$ со сторонами $BC=8$ и $AC=4$. Найдите длину стороны $AB$, если длина вектора $4\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}-3\overrightarrow{OC}$ равна $10$.
Ответ:
Решение:
Найдите координаты центра и радиус окружности, описанной около четырёхугольника на рисунке, если сторона клетки равна $1$.
Ответ:
Решение:
Про функции $p(x)$ и $q(x)$ известно, что $p(0)=q(0)\gt 0$ и $p'(x)\sqrt{q'(x)}=\sqrt{2}$ для любого $x\in[0;1]$. Докажите, что если $x\in[0;1]$, то $p(x)+2q(x)\gt 3x$.
Ответ:
Решение:
Вася смастерил из стеклянных стержней призму. Призма имеет $171$ боковое ребро и столько же рёбер в каждом из оснований. Вася задумался: «Можно ли параллельно перенести каждое из $513$ рёбер призмы так, чтобы они образовали замкнутую ломаную в пространстве?» Возможна ли реализация Васиной задумки?
Ответ:
Решение:
Ортогональной проекцией правильной треугольной пирамиды на некоторую плоскость является равнобокая трапеция с острым углом $60^\circ$. Известно, что объём пирамиды равен $72$. Найдите площадь трапеции.
Ответ:
Решение:
В треугольной пирамиде $ABCD$ с основанием $ABC$ боковые рёбра попарно перпендикулярны, $DA=DB=2$, $DC=5$. Из точки основания испускают луч света. Отразившись ровно по одному разу от каждой боковой грани (от рёбер луч не отражается), луч попадает в точку на основании пирамиды. Какое наименьшее расстояние мог пройти луч?
Ответ:
Решение:
График функции\[y(x)=-x^4+10x^3-33x^2+\frac{124}{3}x-13\]имеет две точки максимума и одну точку минимума. К графику провели касательную с двумя точками касания. Найдите длину отрезка касательной между точками касания.
Ответ:
Решение:
Будем обозначать $f^{(n)}(x)$ последовательное применение $n$ раз функции $f$ (например, $f^{(2)}(x)=f(f(x))$ и т. д.). Даны функции $g(x)=\dfrac{1}{x+1}$ и $h(x)=\dfrac{x+1}{x}$. Найдите значение выражения \[ g^{(2015)}(100)\cdot h^{(2015)}(1/100). \]
Ответ:
Решение:
Три правильных пятиугольника имеют общий центр, их стороны соответственно параллельны. Стороны двух пятиугольников равны $4$ см и $12$ см. Третий пятиугольник делит площадь фигуры, заключённой между первыми двумя, в отношении $1:3$, считая от меньшего пятиугольника. Найдите сторону третьего пятиугольника.
Ответ:
Решение:
Дана трапеция с основаниями $1$ и $4$ и площадью $S$. Найдите площадь треугольника, образованного диагоналями и меньшим основанием трапеции.
Ответ:
Решение:
Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, а боковые стороны образуют угол $30^\circ$. Основания имеют длины $6$ и $2$. Найдите высоту трапеции.
Ответ:
Решение:
Трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ такова, что $AC=BC+AD$, а один из углов между прямыми $AC$ и $BD$ равен $60^\circ$. Докажите, что $ABCD$ — равнобокая трапеция.
Ответ:
Решение: