Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 456
Найдите все значения параметра $a$, при которых система \[ \begin{cases} \left(a|\operatorname{tg}^3y|+a|\operatorname{ctg}^3x|-8\right)\left(\operatorname{ctg}^6x+\operatorname{tg}^6y-3a^2\right)=0,\\ \sqrt{(\operatorname{ctg}^6x)(\operatorname{tg}^6y)}=a \end{cases} \] имеет не более двенадцати различных решений при $x\in(0,\pi)$ и $y\in(-\pi/2,\pi/2)$.
Ответ:
Решение:
Укажите наибольшее значение параметра $p$, при котором уравнение имеет хотя бы одно решение \[ 2\cos\left(2\pi-\frac{\pi x^2}{6}\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}\sqrt{9-x^2}\right)-3=p-2\sin\left(-\frac{\pi x^2}{6}\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}\sqrt{9-x^2}\right). \]
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых среди корней уравнения \[ 2x^2-16x+35=a|x-3| \] будет ровно три положительных. В ответе укажите произведение наименьшего целого значения параметра и количества изолированных точек в полученном множестве значений параметра.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ уравнение \[ \left(x+\sqrt{x^2}\right)(x-3)+2|x+2|-a=1 \] имеет ровно три различных корня?
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых система неравенств \[ \begin{cases} (x+2)^2+(a-3)^2\leqslant 9,\\ 6-a\geqslant (x+2)^2,\\ a+x\leqslant 2 \end{cases} \] имеет хотя бы одно решение, и указать решения системы для каждого значения $a$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых система \[ \begin{cases} \left(\dfrac{|x-1|}{x-1}+3a\right)^2=24-4x^2-4x,\\ 16x^2-27a^2+6ax+22x+12a+7\leqslant 0 \end{cases} \] имеет решения. Укажите эти решения при найденных значениях параметра $a$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых неравенство $\log_{\sqrt{a/10}}\left(\dfrac{a+8x-x^2}{20}\right)\geqslant2$ имеет хотя бы одно решение $x\geqslant2$, и каждое такое решение является также решением уравнения $|a+2x-16|+|a-2x+9|=|2a-7|$.
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ система уравнений \[ \begin{cases} (y-3)^2-(x-1)^2=0,\\ (x-4)^2+(y+1)^2=a \end{cases} \] имеет нечётное число различных решений?
Ответ:
Решение:
На плоскости $xOy$ укажите все точки, через которые не проходит ни одна из кривых, заданных уравнением \[ ax^2+(1-6a)x+2-a-2y+ay^2=0. \]
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений \[ \begin{cases} y=x^2+6x+7,\\ y=|x-a|-2 \end{cases} \] имеет четыре различных решения. Найдите эти решения при каждом значении $a$.
Ответ:
Решение:
Определить количество решений системы \[ \begin{cases} (3-x)\cdot|x+1|=y,\\ y-6=a\cdot(x-3) \end{cases} \] в зависимости от параметра $a$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых система \[ \begin{cases} (ay-ax+2)(4y-3|x-a|-x+5a)=0,\\ \sqrt{x^2y^2}=4a \end{cases} \] имеет шесть различных решений.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых система \[ \begin{cases} (ay-ax+2)(4y-3|x-a|-x+5a)=0,\\ \left(\log_a x^2+\log_a y^2-2\right)\log_2 a^2=8 \end{cases} \] имеет шесть различных решений.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых система \[ \begin{cases} |x-a|+|y-a|+|a-x+1|+|a-y+1|\leqslant 2,\\ y+2\left|x^2-2x-3\right|=6 \end{cases} \] имеет единственное решение.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$, где $BA=5$, $BC=8$. В треугольник вписана окружность, касающаяся стороны $BC$ в точке $P$. Известно, что $BP=3$. Найдите площадь треугольника $BMP$, где $M$ — точка касания окружности со стороной $AC$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольный треугольник $ABC$ вписана окружность, касающаяся его сторон в точках $P$, $Q$ и $R$. Найдите площадь треугольника $PQR$, если длины катетов треугольника $ABC$ равны 3 и 4.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике с основанием 34 и боковой стороной 49 проведена средняя линия, параллельная основанию. Найдите длину отрезка этой средней линии, заключённого внутри вписанной в треугольник окружности.
Ответ:
Решение:
Через центр $O$ вписанной в треугольник $ABC$ окружности проведена прямая, параллельная $AC$, которая пересекает его боковые стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Вторая окружность вписана в треугольник $MBK$ и касается его боковой стороны $MB$ в точке $E$, а первая окружность касается стороны $AB$ в точке $F$. Найдите длину отрезка $EF$, если периметр треугольника $MBK$ равен 6, а $AC=3$.
Ответ:
Решение:
Окружность с центром $O_1$ радиуса 2 вписана в треугольник $ABC$. Вторая окружность с центром $O_2$ радиуса 4 касается продолжения сторон $AB$ и $AC$, а также стороны $BC$. Найдите площадь треугольника $O_1BO_2$, если величина угла $ACB$ равна $120^\circ$.
Ответ:
Решение: