Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 561
Вася возвёл какое-то целое число в куб и умножил результат на два. Петя возвёл другое целое число в квадрат и умножил результат на три. Оказалось, что ответы совпали. Какое число взял каждый из ребят, если эти числа отличаются не более чем на 100 (перечислите все возможные варианты)?
Ответ:
Решение:
Найдите все пары натуральных чисел $x$, $y$, удовлетворяющие уравнению \[6x^2y+2x^2+3xy+x-9y=2016.\]
Ответ:
Решение:
Квадрат со стороной 12 требуется разрезать (полностью) на четыре квадрата с целочисленной стороной $a$, три квадрата с целочисленной стороной $b$ и десять прямоугольников со сторонами $a$ и $b$. Найдите все значения $a$ и $b$, при которых это возможно.
Ответ:
Решение:
Известно, что при некоторых натуральных $a$, $b$ число $N=\dfrac{a^2+b^2}{ab-1}$ — тоже натуральное. Найдите все возможные значения $N$.
Ответ:
Решение:
Назовем год замечательным, если номер года делится на сумму двузначных чисел, из которых этот номер составлен. Например, $2025$ год — замечательный, поскольку $2025$ делится на $20+25=45$. Назовите ближайший следующий замечательный год?
Ответ:
Решение:
В десятичной записи натурального числа, состоящей только из цифр 4 и 5, количество цифр 5 нечётно и на 17 больше количества цифр 4. Найдите все возможные остатки от деления этого числа на 9.
Ответ:
Решение:
Сколько существует пятизначных чисел вида $\overline{ab16c}$, кратных 16? ($a$, $b$, $c$ — произвольные цифры, не обязательно разные.)
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Будем обозначать $\overline{abc}$ трехзначные числа, записанные цифрами $a$, $b$, $c$. Сколько существует трехзначных чисел, таких, что разность $\overline{abc}-\overline{acb}$ делится на $72$ без остатка?
Ответ:
Решение:
Назовем год замечательным, если номер года делится на сумму двузначных чисел, из которых этот номер составлен. Например, 2025 год — замечательный, поскольку 2025 делится на $20+25=45$. Сколько ещё замечательных годов в XXI веке (с 2001 по 2100 год включительно)?
Ответ:
Решение:
Заданы 2014 натуральных чисел. Если выбрать из них любые 100 чисел, то среди них окажется хотя бы одно чётное число. Если выбрать из них любые 1916 чисел, то среди них окажется хотя бы одно нечётное число. Может ли сумма всех этих чисел равняться $2014\cdot2013$? Ответ обоснуйте.
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное $N$ такое, что десятичная запись числа $999N$ состоит из одних семёрок.
Ответ:
Решение:
Написаны 2017 чисел. Известно, что сумма квадратов любых 7 из них равна 7, сумма любых 11 из них положительна, а сумма всех 2017 чисел делится на 9. Найдите эти числа.
Ответ:
Решение:
На сколько нулей оканчивается число \[ \Bigl(1\underbrace{00\ldots0}_{2017}1\Bigr)^{2017}-1\,? \]
Ответ:
Решение:
В периодической десятичной дроби $0{,}242424\ldots$ первую цифру после запятой заменили на 4. Во сколько раз полученное число больше исходного?
Ответ:
Решение:
Из последовательности натуральных чисел $1, 2, 3, \ldots$ удалили все точные квадраты (квадраты целых чисел). Какое число будет находиться на 2018 месте среди оставшихся?
Ответ:
Решение:
Найдите все пары натуральных чисел $x,y\in[1;8]$, удовлетворяющих равенству \[\sqrt{x x,xxx\ldots}=y,yyy\ldots\] (десятичная запись каждого из чисел $xx,xxx\ldots$ и $y,yyy\ldots$ состоит из бесконечного количества одинаковых цифр).
Ответ:
Решение: