Поиск задач

Устройство КК42 работает так: если положить в него четыре шарика, то в первый лоток вывалится второй по весу шарик (т. е. шарик веса $b$, если $a\gt b\gt c\gt d$), а во второй лоток вывалятся остальные. С другим числом шариков устройство не работает. Имеются 100 одинаковых на вид шариков попарно различных весов. Их пронумеровали числами 1, 2, $\ldots$, 100. Как, использовав прибор не более 100 раз, найти самый тяжелый шарик?

На доске написаны числа 1, 2, $\ldots$, 1000. Разрешается стереть любые два числа $a$ и $b$ и записать вместо них числа $ab$ и $a^2+b^2$. Можно ли такими операциями добиться, чтобы среди чисел, написанных на доске, было хотя бы 700 одинаковых?

Дано натуральное число $k$. В городе несколько детей, они ходят в несколько кружков. Известно, что в каждый кружок ходит не более $3k$ детей, любой ребёнок ходит ровно в три кружка, и для любых двух детей есть кружок, в который оба они ходят. Какое наибольшее количество детей может быть в городе?

Дано 1000-значное число без нулей в записи. Докажите, что из этого числа можно вычеркнуть несколько (возможно, ни одной) последних цифр так, чтобы получившееся число не было натуральной степенью числа, меньшего 500.

Точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно треугольника $ABC$. На продолжении отрезка $CM$ за точку $M$ отмечена точка $D$. Оказалось, что $BC=BD=2$ и $AN=3$. Докажите, что $\angle ADC=90^\circ$.

Дан выпуклый четырёхугольник $ABSC$. На диагонали $BC$ выбрана точка $P$ так, что $AP=CP\gt BP$. Точка $Q$ симметрична точке $P$ относительно середины диагонали $BC$, а точка $R$ симметрична точке $Q$ относительно прямой $AC$. Оказалось, что $\angle SAB=\angle QAC$ и $\angle SBC=\angle BAC$. Докажите, что $SA=SR$.

Даны два числа (не обязательно целые), не равные 0. Если каждое из них увеличить на единицу, их произведение увеличится вдвое. А во сколько раз увеличится их произведение, если каждое из исходных чисел возвести в квадрат и затем уменьшить на единицу?

Графики линейных функций $y=ax+c$, $y=ax+d$, $y=bx+e$, $y=bx+f$ пересекаются в вершинах квадрата $P$. Могут ли точки $K(a,c)$, $L(a,d)$, $M(b,e)$, $N(b,f)$ располагаться в вершинах квадрата, равного квадрату $P$?