Поиск задач

Андрей Михайлович выписал на доску все возможные последовательности длины $2022$, состоящие из $1011$ нулей и $1011$ единиц. Назовём две последовательности совместимыми, если они совпадают ровно в $4$ позициях. Докажите, что Андрей Михайлович может разбить все последовательности на $20$ групп так, чтобы никакие две совместимые последовательности не попали в одну группу.

Среди любых пяти узлов обычной клетчатой бумаги обязательно найдутся два, середина отрезка между которыми — тоже узел клетчатой бумаги. А какое минимальное количество узлов сетки из правильных шестиугольников необходимо взять, чтобы среди них обязательно нашлось два, середина отрезка между которыми — тоже узел этой сетки?

Найдите наибольшее натуральное $n$, обладающее следующим свойством: для любого простого нечётного $p$, меньшего $n$, разность $n-p$ также является простым числом.

Два треугольника пересекаются по шестиугольнику, который отсекает от них 6 маленьких треугольников. Радиусы вписанных окружностей этих шести треугольников равны. Докажите, что радиусы вписанных окружностей двух исходных треугольников также равны.

Точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$. Касательная $\ell$ к описанной окружности треугольника $ABC$ в точке $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $K$. Докажите, что описанная окружность треугольника $MKN$ касается $\ell$.

Дан многочлен степени $2022$ с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом $1$. Какое наибольшее число корней он может иметь на интервале $(0;1)$?