Непрерывные случайные величины: общие понятия

Непрерывная случайная величина $X$ задана своей функцией распределения: $$F(x)=\left\{\begin{aligned} & 0, \quad\text{если}~x < 0; \\ & \frac{3}{20} x^2, \quad\text{если}~0\leqslant x < 1; \\ & \frac{1}{20}(4x^2-2x+1), \quad\text{если}~1\leqslant x < 2; \\ & -\frac{1}{20}(7x^2-42x+43), \quad\text{если}~2\leqslant x < 3; \\ & 1, \quad\text{если}~x\geqslant3. \end{aligned}\right.$$ а) Найти выражение для плотности распределения $f(x)$ и построить график плотности распределения.
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $f(x)$ непрерывная, а площадь под её графиком (два треугольника и трапеция) равна 1.
б) Вычислить вероятность $P\{0{,}5 \leqslant X \leqslant 2{,}5\}$
в) Вычислить математическое ожидание и
г) дисперсию случайной величины.

Непрерывная случайная величина $X$ задана своей функцией распределения: $$F(x)=\left\{\begin{aligned} & 0, \quad\text{если}~x < 0; \\ & \frac{7}{20} x^2, \quad\text{если}~0\leqslant x < 1; \\ & -\frac{1}{20}(4x^2-22x+11), \quad\text{если}~1\leqslant x < 2; \\ & -\frac{1}{20}(3x^2-18x+7), \quad\text{если}~2\leqslant x < 3; \\ & 1, \quad\text{если}~x\geqslant3. \end{aligned}\right.$$ а) Найти выражение для плотности распределения $f(x)$ и построить график плотности распределения.
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $f(x)$ непрерывная, а площадь под её графиком (два треугольника и трапеция) равна 1.
б) Вычислить вероятность $P\{0{,}5 \leqslant X \leqslant 2{,}5\}$
в) Вычислить математическое ожидание и
г) дисперсию случайной величины.

Непрерывная случайная величина $X$ задана плотностью распределения: $$f(x)=\left\{\begin{aligned} & 0, \quad\text{если}~x < 0; \\ & \frac{2x}{15}, \quad\text{если}~0\leqslant x < 3; \\ & \frac{5-x}{5}, \quad\text{если}~3\leqslant x < 5; \\ & 0, \quad\text{если}~x\geqslant5. \end{aligned}\right.$$ а) Построить график данной плотности распределения.
б) Найти выражение для функции распределения $F(x)$ и построить её график.
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $F(x)$ непрерывная и $F(x\geqslant5)=1$.
в) Вычислить вероятность $P\{1{,}5 \leqslant X \leqslant 4\}$
г) Вычислить математическое ожидание и
д) дисперсию случайной величины.

Непрерывная случайная величина $X$ задана плотностью распределения: $$f(x)=\left\{\begin{aligned} & 0, \quad\text{если}~x < 0; \\ & \frac{x}{10}, \quad\text{если}~0\leqslant x < 4; \\ & \frac{10-2x}{5}, \quad\text{если}~4\leqslant x < 5; \\ & 0, \quad\text{если}~x\geqslant5. \end{aligned}\right.$$ а) Построить график данной плотности распределения.
б) Найти выражение для функции распределения $F(x)$ и построить её график.
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $F(x)$ непрерывная и $F(x\geqslant5)=1$.
в) Вычислить вероятность $P\{2 \leqslant X \leqslant 4{,}5\}$
г) Вычислить математическое ожидание и
д) дисперсию случайной величины.

Непрерывная случайная величина $X$ задана плотностью распределения: $$f(x)=\left\{\begin{aligned} & 0, \quad\text{если}~x < 0; \\ & kx, \quad\text{если}~0\leqslant x < 1; \\ & k(x-2)^2, \quad\text{если}~1\leqslant x < 2; \\ & 0, \quad\text{если}~x\geqslant2. \end{aligned}\right.$$ Найти значение $k$, при котором функция такого вида может быть плотностью распределения некоторой случайной величины.
а) Построить график данной плотности распределения.
б) Найти выражение для функции распределения $F(x)$ и построить её график.
в) Вычислить вероятность $P\{0{,}5 \leqslant X \leqslant 2\}$
г) Вычислить математическое ожидание и
д) дисперсию случайной величины.

Непрерывная случайная величина $X$ задана плотностью распределения: $$f(x)=\left\{\begin{aligned} & 0, \quad\text{если}~x < \frac{\pi}{2}; \\ & -a\cos x, \quad\text{если}~\frac{\pi}{2}\leqslant x < \frac{3\pi}{2}; \\ & 0, \quad\text{если}~x\geqslant\frac{3\pi}{2}. \end{aligned}\right.$$ Найти значение $a>0$, при котором функция такого вида может быть плотностью распределения некоторой случайной величины.
а) Построить график данной плотности распределения.
б) Найти выражение для функции распределения $F(x)$ и построить её график.
в) Вычислить вероятность $P\{\pi/4 \leqslant X \leqslant \pi\}$
г) Вычислить математическое ожидание и
д) дисперсию случайной величины.