Олимпиада «Физтех»

Серединный перпендикуляр к стороне $AC$ треугольника $ABC$ пересекает сторону $BC$ в точке $P$. Известно, что $AP=1$, $BP:PC=2$, а высота $BH$ треугольника $ABC$ равна $0{,}5$. Найдите наименьшее возможное значение радиуса окружности, описанной около треугольника $ACP$.

Числа $p$ и $q$ — простые, и при этом выполнено равенство \[ 7p+q^5=17\,528. \] Найдите наибольшее возможное значение суммы $p+q$.

Ваня с родителями ест плитку шоколада. Сначала мама откусила 13-ую часть плитки, а оставшуюся часть отдала Ване. Затем Ваня откусил 13-ую часть от того, что осталось, и отдал остальное папе. После этого папа откусил 13-ую часть от полученного и отдал остаток маме. Далее мама снова откусила 13-ую часть, отдала остаток Ване и так далее (до бесконечности). Во сколько раз больше шоколада, чем Ваня, съели мама и папа вместе? Ответ округлите до трёх знаков после запятой.

Сколько существует способов выбрать из натуральных чисел от 1 до 302 три различных числа так, чтобы их сумма делилась на 3?

Биссектрисы прямоугольного треугольника $ABC$ с гипотенузой $AC$ пересекаются в точке $P$. Окружность с диаметром $BP$ пересекает катеты $AB$ и $BC$ в точках $K$ и $M$ соответственно. Прямые $KP$ и $MP$ пересекают гипотенузу в точках $E$ и $T$ соответственно. Найдите площадь четырёхугольника $KBMP$, если $PT=3$, $EP=4$.

У Серёжи имеется новогодний подарок из $N$ конфет, в котором есть конфеты только трёх типов: карамельки, шоколадные и ириски. Серёжа заметил, что если он сейчас съест несколько ирисок, то

• вероятность того, что он вытянет шоколадную конфету, удвоится;
• вероятность того, что он вытянет ириску, будет равна вероятности вытянуть карамельку из нераспакованного подарка.

Какое минимальное число ирисок может быть в изначальном подарке, если известно, что шоколадных конфет в нём 10, а всех конфет $N$ — не менее 40?

Пункт $B$ расположен на прямолинейной дороге между пунктами $A$ и $C$, причём $AB:BC=8$. Первоначально Тигра и Пятачок находятся в пункте $A$, Винни-Пух — в пункте $B$, а Кролик — в пункте $C$. Они одновременно начинают движение, при этом Тигра и Пятачок идут из $A$ в $C$, Винни-Пух — из $B$ в $C$, а Кролик — из $C$ в $A$. Наблюдая за передвижением своих друзей, Кристофер Робин заметил, что

• Пятачок и Винни-Пух встретились у домика Совы;
• Кролик и Тигра встретились у домика Совы;
• Тигра и Винни-Пух встретились у дупла с мёдом;
• Пятачок и Кролик встретились у дупла с мёдом;
• скорости Пятачка и Тигры различны.

Найдите отношение скорости Кролика к скорости Винни-Пуха. (Все движутся с постоянными скоростями; домик Совы и дупло с мёдом расположены в различных точках дороги между $A$ и $C$.)

Дана треугольная пирамида $SABC$. Известно, что ортогональные проекции ребер $SA$, $SB$, $SC$ на плоскость $ABC$ имеют равные длины. Также равные длины имеют ортогональная проекция ребра $SC$ на плоскость $SAB$ и ортогональная проекция ребра $SB$ на плоскость $SAC$. Найдите отношение $AB:AC$, если известно, что оно не равно 1, а $\sin\angle SAB=\dfrac{10}{\sqrt{149}}$.

Сколько пар натуральных чисел $(a;b)$ таких, что сумма $a+b$ чётна, удовлетворяют равенству \[ (a+1)a+7b=1\,000\,001? \]

В вершинах правильного 30-угольника разместили 28 белых и 2 чёрных фишки, причем чёрные фишки лежат в соседних вершинах. Сколькими способами можно выбрать две белых и одну чёрную фишку так, чтобы они лежали в вершинах прямоугольного треугольника?