Олимпиада «Физтех»

Решите уравнение \[ \log_{3^{x-1}}\left(x^2-11x+19\right)+\log_{27^{x-1}}x^3=\dfrac{2}{x-1}. \]

Решите неравенство \[ \dfrac{1}{\sqrt{|x+1|-2}}\leqslant\dfrac{1}{9+x}. \]

Решите уравнение \[ \sqrt{3+4\cos^2 x}=\dfrac{\sin x}{\sqrt{3}}+3\cos x. \]

Число $72350$ написали семь раз подряд, при этом получилось $35$-значное число \[ 72350723507235072350723507235072350. \] Из этого $35$-значного числа требуется вычеркнуть две цифры так, чтобы полученное после вычёркивания $33$-значное число делилось на $15$. Сколькими способами это можно сделать?

В параллелограмме $ABCD$ угол $ADC$ равен $\arcsin\dfrac{\sqrt{24}}{5}$. Окружность $\Omega$, проходящая через точки $A$, $C$ и $D$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $N$ и $L$ соответственно, причём $AN=11$, $BL=6$. Найдите площадь параллелограмма $ABCD$ и радиус окружности $\Omega$.

При каких значениях параметра $a$ существует единственная пара чисел $(x,y)$, удовлетворяющая системе неравенств \[ \begin{cases} \left(x^2-xy+y^2\right)\left(x^2-36\right)\geqslant 0,\\ |x-2+y|+|x-2-y|\leqslant a\ ? \end{cases} \]

В основании треугольной пирамиды $SABC$ лежит прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $BC=2\sqrt{3}$. Сфера $\omega$ касается плоскости основания пирамиды и касается всех трёх её боковых рёбер в их серединах. Пусть $\Omega$ — сфера, описанная около пирамиды $SABC$.
а) Найдите расстояние между центрами сфер $\omega$ и $\Omega$.
б) Найдите отношение радиусов сфер $\omega$ и $\Omega$.
в) Пусть дополнительно известно, что $\angle SAB=\arccos\dfrac14$. Найдите объём пирамиды $SABC$.

Дан правильный $18$-угольник. Найдите количество троек его вершин, являющихся вершинами треугольника, в котором хотя бы один угол равен $40^\circ$. (Две тройки вершин, отличающиеся порядком вершин, считаются одинаковыми.)