Олимпиада «Физтех»
11 класс, отборочный этап 2013/14 уч. г.
20 задач
Задача 1
У семейной пары дни рождения в один и тот же день. При очередном праздновании их общего дня рождения муж заметил, что сейчас ему вдвое больше лет, чем было его жене тогда, когда ему было столько лет, сколько жене сейчас. А когда ей будет столько лет, сколько ему теперь, им обоим вместе будет $81$ год. Сколько лет мужу сейчас?
Ответ:
Решение:
Задача 2
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2013/14 уч. г., задача 3
Последовательность $a_n$ такова, что $a_1=4$, $a_2=25$. Найдите $a_{200}$, если для любого натурального $n$ справедливо равенство $a_{n+1}=a_n\cdot a_{n+2}$.
Ответ:
Решение:
Задача 3
Известно, что $\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta=16$, а $\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta=18$. Найдите $\operatorname{tg}(\alpha+\beta)$.
Ответ:
Решение:
Задача 4
При каком значении параметра $a$ значение выражения $x_1^2+x_2^2$ будет наименьшим, если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2-2ax+2a-5=0$?
Ответ:
Решение:
Задача 5
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2013/14 уч. г., задача 8
Натуральное число имеет ровно два простых делителя. Его квадрат имеет $85$ различных натуральных делителей. Какое наибольшее количество различных натуральных делителей может иметь куб этого числа?
Ответ:
Решение:
Задача 6
При каком наименьшем значении параметра $a$ функция $2x^3+18x^2+ax+5$ будет возрастать на всей числовой оси?
Ответ:
Решение:
Задача 7
В равнобедренном треугольнике $ABC$ проведена медиана $AM$ к боковой стороне. Найдите квадрат радиуса окружности, описанной около треугольника $ABC$, если радиусы окружностей, описанных около треугольников $ABM$ и $AMC$, равны $30$ и $15$.
Ответ:
Решение:
Задача 8
Отметили все вершины правильного девятиугольника. Сколько существует незамкнутых несамопересекающихся семизвенных ломаных с вершинами в отмеченных точках?
Ответ:
Решение:
Задача 9
Какое наибольшее значение может иметь знаменатель геометрической прогрессии $b_1,b_2,\ldots$, если число $5$ является корнем уравнения $b_{10}x^9+\ldots+b_3x^2+b_2x+b_1=0$?
Ответ:
Решение:
Задача 10
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2013/14 уч. г., задача 15
В равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB=BC$) вписана окружность. Через точку $D$, лежащую на стороне $AB$, проведена касательная к окружности, пересекающая прямую $AC$ за точкой $C$ в точке $E$. Найдите длину боковой стороны треугольника $ABC$, если $AC=21$, $CE=35$ и $BD=AB/8$.
Ответ:
Решение:
Задача 11
Найдите количество семизначных чисел, в десятичной записи которых могут встречаться только цифры $4$, $5$, $6$, $7$ и таких, что каждая цифра не меньше предыдущей.
Ответ:
Решение:
Задача 12
На сторонах $AB$ и $AD$ квадрата $ABCD$ со стороной $24$ отмечены точки $E$ и $F$ соответственно. Угол $ECF$ равен $30^\circ$. Из вершин $B$ и $D$ проведены перпендикуляры к отрезкам $CE$ и $CF$. Какая наибольшая площадь может быть у четырёхугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров?
Ответ:
Решение:
Задача 13
Площадь проекции прямой четырёхугольной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с параллелограммом $ABCD$ в основании на плоскость, перпендикулярную её диагонали $AC_1$, равна $\sqrt{41}$. Чему будет равна площадь проекции этой призмы на плоскость, перпендикулярную диагонали $BD_1$, если $AA_1=5$, $AC=12$, $BD=4$?
Ответ:
Решение:
Задача 14
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2013/14 уч. г., задача 17
На клетчатой бумаге по линиям сетки выделили прямоугольник $10\times15$ клеток. В нём отметили все узлы, в том числе и лежащие на его границе. Какое наибольшее число отмеченных узлов можно выбрать так, чтобы никакие три из них не являлись вершинами прямоугольного треугольника?
Ответ:
Решение:
Задача 15
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2013/14 уч. г., задача 19; Физтех, 10 класс, отборочный этап 2013/14 уч. г., задача 18
Из начала координат проведено $240$ лучей, которые делят координатную плоскость на углы в $1{,}5^\circ$. Известно, что четыре из них совпадают с координатными полуосями. Найдите сумму абсцисс точек пересечения этих лучей с прямой $y=30-x$.
Ответ:
Решение:
Задача 16
Кузнечик прыгает по вершинам правильного треугольника $ABC$, прыгая каждый раз в одну из соседних вершин. Сколькими способами он может попасть из вершины $A$ обратно в вершину $A$ за $9$ прыжков?
Ответ:
Решение:
Задача 17
В основании четырёхугольной пирамиды $SABCD$ лежит квадрат $ABCD$ со стороной $AB=18$. На продолжении диагонали $CA$ за точку $A$ выбрана точка $H$ так, что $AH=3CA$. Отрезок $SH=4$ перпендикулярен плоскости основания пирамиды. Какой наибольший объём $V$ может иметь цилиндр, расположенный внутри пирамиды так, что одно из его оснований лежит на основании пирамиды? В ответе укажите величину $V/\pi$.
Ответ:
Решение:
Задача 18
Прямоугольный параллелепипед $35\times 40\times 56$, разбитый на $78400$ единичных кубиков, проткнули иглой по его диагонали. Сколько единичных кубиков протыкает игла?
Ответ:
Решение:
Задача 19
В турнире участвовали $89$ теннисистов. Все игры проходили на одном корте. Спортсмен, проигравший хотя бы одну игру, выбывает из турнира. Известно, что у участников каждой встречи количество предыдущих побед отличалось не более чем на одну. Какое наибольшее число игр мог сыграть победитель турнира?
Ответ:
Решение:
Задача 20
В выпуклом $17$-угольнике проводят все его диагонали. На какое наибольшее число частей они могут его разбить?
Ответ:
Решение: