Олимпиада «Физтех»

Решите уравнение \[ \log_{6^{x-2}}x^2+\log_{36^{x-2}}(x-5)^4=\dfrac{2}{x-2}. \]

Решите уравнение \[ 2\sqrt{7}\sin\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{2}\right)=\sqrt{27+\sin\left(3x+\dfrac{\pi}{2}\right)}. \]

Решите неравенство \[ \left(\dfrac{6|x-2|}{x^2+21}\right)^{x+\sqrt{x^2-6}}\gt 1. \]

Число $58964$ написали $8$ раз подряд, при этом получилось $40$-значное число \[ 5896458964589645896458964589645896458964. \] Из этого $40$-значного числа требуется вычеркнуть две цифры так, чтобы полученное после вычёркивания $38$-значное число делилось на $6$. Сколькими способами это можно сделать?

Дана прямоугольная трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$, причём $BC\lt AD$, $\angle BCD=90^\circ$. Точка $M$ — середина отрезка $CD$. Известно, что окружность радиуса $5$ проходит через точки $A$ и $B$ и касается стороны $CD$ в точке $M$, а $\cos\angle BMC=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$. Найдите длины отрезков $AB$ и $BC$, а также площадь трапеции.

При каких значениях параметра $a$ существует единственная пара чисел $(x,y)$, удовлетворяющая системе \[ \begin{cases} \left(x^2-xy+y^2\right)(|x-y|-6)\geqslant 0,\\ x(x+2)+y(y-2)=a\ ? \end{cases} \]

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$ вписана в цилиндр (основания призмы вписаны в окружности оснований цилиндра). Плоскость $\alpha$ имеет ровно одну общую точку с каждым из оснований цилиндра и пересекает рёбра $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ в точках $K$, $N$, $P$ соответственно. Найдите отношения $AK:KA_1$ и $CP:PC_1$, если $BN:NB_1=3:4$.

Дан правильный $16$-угольник. Найдите количество четвёрок его вершин, являющихся вершинами выпуклого четырёхугольника, в котором хотя бы один угол равен $90^\circ$. (Две четвёрки вершин, отличающиеся порядком вершин, считаются одинаковыми.)