Олимпиада «Физтех»

Решите неравенство \[ \left(x^2-3x+3\right)^{4x^3+5x^2}\leqslant\left(x^2-3x+3\right)^{2x^3+18x}. \]

Решите уравнение \[ \frac{\cos 5x-\cos 7x}{\sin 4x+\sin 2x}=2|\sin 2x|. \]

Решите систему уравнений \[ \begin{cases} x^2y+xy^2-2x-2y+10=0,\\ x^3y-xy^3-2x^2+2y^2-30=0. \end{cases} \]

В треугольнике $ABC$ медианы $BD$ и $CE$ пересекаются в точке $M$. Окружность, построенная на отрезке $BM$ как на диаметре, проходит через вершину $C$ и касается прямой $DE$. Известно, что $CM=4$. Найдите высоту $AH$ треугольника $ABC$, угол $CBD$ и площадь треугольника $ABC$.

В числе $2*0*1*6*0*2*$ нужно заменить каждую из $6$ звёздочек на любую из цифр $0, 2, 4, 5, 7, 9$ (цифры могут повторяться) так, чтобы полученное $12$-значное число делилось на $75$. Сколькими способами это можно сделать?

Дана система уравнений \[ \begin{cases} |15x|+|8y|+|120-15x-8y|=120,\\ \left(x-4\cos\dfrac{a\pi}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{15}{2}\right)^2=\left(\dfrac{a+2}{4}\right)^2. \end{cases} \]
а) Изобразите на плоскости $(x,y)$ множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы, и найдите площадь полученной фигуры.
б) Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система имеет ровно три решения.

Высота правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $12$. Сфера $\Omega$ радиуса $\sqrt{35/3}$ касается всех боковых граней призмы. На отрезках $AA_1$ и $BB_1$ выбраны соответственно точки $K$ и $L$ такие, что $KL\parallel AB$, а плоскости $KBC$ и $LA_1C_1$ касаются сферы $\Omega$. Найдите объём призмы и длину отрезка $AK$.