Олимпиада «Физтех»

Известно, что для трёх последовательных натуральных значений аргумента квадратичная функция $f(x)$ принимает соответственно значения 6, 5 и 5. Найдите наименьшее возможное значение $f(x)$.

Известно, что числа $x$, $y$, $z$ образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию с разностью $\alpha=\arccos\left(-\dfrac37\right)$, а числа $\dfrac{1}{\cos x}$, $\dfrac{7}{\cos y}$, $\dfrac{1}{\cos z}$ также образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Найдите $\cos^2 y$.

Решите неравенство \[ \log_9 4+\left(16-\log_3^2 2\right)\log_{162}3\leqslant 64^{\log_4^2 x}-15\cdot x^{\log_4 x}. \]

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность радиуса $7$. Лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $P$, а лучи $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $Q$. Известно, что треугольники $ADP$ и $QAB$ подобны (вершины не обязательно указаны в соответствующем порядке).
а) Найдите $AC$.
б) Пусть дополнительно известно, что окружности, вписанные в треугольники $ABC$ и $ACD$, касаются отрезка $AC$ в точках $K$ и $T$ соответственно, причём $CK:KT:TA=6:1:7$ (точка $T$ лежит между $K$ и $A$). Найдите $\angle DAC$ и площадь четырёхугольника $ABCD$.

Дано число $5300\ldots0035$ (100 нулей). Требуется заменить некоторые два нуля на ненулевые цифры так, чтобы после замены получилось число, делящееся на 495. Сколькими способами это можно сделать?

Найдите все значения параметра $a$, при которых существует значение параметра $b$ такое, что система \[ \begin{cases} \arcsin\left(\dfrac{a-y}{3}\right)=\arcsin\left(\dfrac{4-x}{4}\right),\\ x^2+y^2-8x-8y=b \end{cases} \] имеет ровно два решения.

Рассматриваются четырёхугольные пирамиды $MABCD$ со следующими свойствами: основание пирамиды — выпуклый четырёхугольник $ABCD$, в котором $AB=BC=1$, $CD=DA=2$, а каждая из плоскостей боковых граней $MAB$, $MBC$, $MCD$, $MDA$ составляет угол $45^\circ$ с плоскостью основания.
а) Найдите объём такой пирамиды, если её высота, опущенная из вершины $M$, равна $\dfrac95$.
б) При какой длине высоты объём рассматриваемых пирамид максимален и чему равен этот объём?