Всероссийская олимпиада школьников по математике

Квадратный трёхчлен $f(x)=ax^2+bx+c$, не имеющий корней, таков, что коэффициент $b$ рационален, а среди чисел $c$ и $f(c)$ ровно одно иррационально. Может ли дискриминант трёхчлена $f(x)$ быть рациональным?

Положительные числа $x$, $y$ и $z$ удовлетворяют условию $xyz\geqslant xy+yz+zx$. Докажите неравенство \[ \sqrt{xyz}\geqslant\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}. \]

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BL$. На отрезке $CL$ выбрана точка $M$. Касательная в точке $B$ к окружности $\Omega$, описанной около треугольника $ABC$, пересекает луч $CA$ в точке $P$. Касательные в точках $B$ и $M$ к окружности $\Gamma$, описанной около треугольника $BLM$, пересекаются в точке $Q$. Докажите, что прямые $PQ$ и $BL$ параллельны.

Есть клетчатая доска $2015\times2015$. Дима ставит в $k$ клеток по детектору. Затем Коля располагает на доске клетчатый корабль в форме квадрата $1500\times1500$. Детектор в клетке сообщает Диме, накрыта эта клетка кораблём или нет. При каком наименьшем $k$ Дима может расположить детекторы так, чтобы гарантированно восстановить расположение корабля?

Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество $A$, состоящее из действительных чисел, полным, если для любых действительных $a$ и $b$ (не обязательно различных и не обязательно лежащих в $A$), при которых $a+b$ лежит в $A$, число $ab$ также лежит в $A$. Найдите все полные множества действительных чисел.

В пространстве расположены 2016 сфер, никакие две из них не совпадают. Некоторые из сфер — красного цвета, а остальные — зелёного. Каждую точку касания красной и зелёной сферы покрасили в синий цвет. Найдите наибольшее возможное количество синих точек.

По кругу стоят $n$ мальчиков и $n$ девочек. Назовём пару из мальчика и девочки хорошей, если на одной из дуг между ними стоит поровну мальчиков и девочек (в частности, стоящие рядом мальчик и девочка образуют хорошую пару). Оказалось, что есть девочка, которая участвует ровно в 10 хороших парах. Докажите, что есть и мальчик, который участвует ровно в 10 хороших парах.

Натуральное число $N$ представляется в виде \[ N=a_1-a_2=b_1-b_2=c_1-c_2=d_1-d_2, \] где $a_1$ и $a_2$ — квадраты, $b_1$ и $b_2$ — кубы, $c_1$ и $c_2$ — пятые степени, а $d_1$ и $d_2$ — седьмые степени натуральных чисел. Обязательно ли среди чисел $a_1$, $b_1$, $c_1$ и $d_1$ найдутся два равных?