Всероссийская олимпиада школьников по математике

Можно ли 2026 чисел $1+\sqrt{2}$, $1+2\sqrt{2}$, $\ldots$, $1+2026\sqrt{2}$ разбить на две непустые группы так, чтобы произведения чисел в группах имели одинаковую дробную часть?

Медианы остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$. На стороне $BC$ отмечены точки $K$ и $N$ так, что $BK=KN=NC$. Высоты треугольника $MKN$ пересекаются в точке $H$. Докажите, что окружность, проходящая через середины отрезков $AH$, $BH$ и $CH$, касается описанной окружности треугольника $MKN$.

На олимпиаду приехало несколько участников из $n\gt 1$ регионов, некоторые из них дружат (дружба всегда взаимна). Выяснилось, что для произвольной рассадки нескольких (хотя бы трёх) участников за круглым столом, при которой любые два соседа дружат, участников из каждого региона за столом окажется не более половины общего числа детей за столом. Докажите, что участников можно рассадить по $n$ кабинетам так, чтобы любые два друга оказались в разных кабинетах.

Пусть $P(x)$ — многочлен степени $n$ с вещественными коэффициентами, у которого старший коэффициент равен 1. Оказалось, что можно выбрать 100 попарно различных вещественных корней $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_{100}$ у многочлена $P(x)$ и 100 попарно различных вещественных корней $y_1$, $y_2$, $\ldots$, $y_{100}$ у многочлена $P(x)-1$ так, чтобы числа $x_i$ и $y_i$ отличались на 1 при всех $i=1, 2, \ldots, 100$. Каково наименьшее возможное значение $n$?

Саша поставил фишку в одну из точек координатной плоскости. За одну операцию разрешается переместить фишку, расположенную в точке с координатами $(a_i;b_i)$, в другую точку $(a_{i+1};b_{i+1})$, если уравнение прямой, соединяющей эти точки, имеет вид $y=a_ix+c_i$ (где $i$ — номер операции). Может ли после нескольких таких операций фишка вернуться в исходную точку?

На доску выписаны 2026 попарно различных натуральных чисел, больших 1. Оказалось, что для любого выписанного числа $a$ найдутся хотя бы $k$ пар выписанных чисел $b\lt c$, для которых $bc-1$ делится на $a-1$. Найдите наибольшее возможное значение $k$.

Сфера с центром в точке $I$ вписана в тетраэдр $ABCD$ и касается его граней $BCD$, $CDA$, $DAB$, $ABC$ в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ соответственно. Отрезок $A_1B_1$ пересекает плоскость $C_1D_1I$ в точке $E$. Докажите, что середина ребра $AB$ лежит в плоскости $CDE$.

Даны нечётные числа $a\leqslant b$, большие 1. На клетчатую плоскость (сторона клетки равна 1) выложены по линиям сетки салфетки в форме квадратов $2\times2$ так, что каждая клетка накрыта не более чем одной салфеткой. Оказалось, что для любого клетчатого прямоугольника с горизонтальной стороной $a$ и вертикальной стороной $b$ его левый нижний угол является центром одной из салфеток в том и только в том случае, когда его правый верхний угол является центром одной из салфеток. Найдите наименьшее положительное число $\alpha$, при котором для любого натурального $N$ гарантированно найдётся клетчатый квадрат $N\times N$, содержащий целиком не более $\alpha N^2$ салфеток.