Всероссийская олимпиада школьников по математике

На клавиатуре компьютера Пети неисправна одна клавиша с некоторой цифрой (все остальные клавиши работают хорошо). Неисправная клавиша срабатывает только на каждое второе нажатие. Например, в случае неисправной клавиши «2» при вводе числа 12125252 получится число 112552.
Петя попробовал ввести 10-значное число, но на экране появилось 7-значное число \[ 7479189 \] Клавиша с какой цифрой могла быть неисправна? Укажите все возможные варианты.

В чате учеников одной из школ проходило голосование: «В какой день проводить дискотеку: 22 или 29 октября?»
На графике изображено, как голоса распределились спустя час после начала голосования.
Затем в голосовании приняли участие ещё 80 человек, которые голосовали только за 22 октября. После этого голосование завершилось. Итоговое распределение голосов также изображено на графике.
Сколько человек приняли участие в голосовании?

В классе учатся 29 школьников: несколько отличников и несколько хулиганов. Отличники всегда говорят правду, а хулиганы всегда врут. Все ученики этого класса сели за круглый стол.

• Несколько учеников сказали: «Рядом со мной ровно один хулиган».
• Все остальные ученики сказали: «Рядом со мной ровно два хулигана».

Какое наименьшее количество хулиганов может быть в классе?

Точки $D$ и $E$ отмечены соответственно на сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ так, что $AD=EC$. Оказалось, что $BD=ED$, $\angle BDC=\angle DEB$. Найдите длину отрезка $AC$, если известно, что $AB=7$ и $BE=2$.

На доске были написаны числа $1, 2, 3, \ldots, 235$. Петя стёр несколько из них. Оказалось, что среди оставшихся чисел никакое не делится на разность никаких двух других. Какое наибольшее количество чисел могло остаться на доске?

В таблице $3\times3$ расставлены действительные числа. Оказалось, что произведение чисел в любой строке и любом столбце равно 10, а произведение чисел в любом квадрате $2\times2$ равно 3. Найдите число, стоящее в центральной клетке.

На рисунке изображены два равных треугольника: $ABC$ и $EBD$. Оказалось, что $\angle DAE=\angle DEA=37^\circ$. Найдите угол $BAC$.

Сколькими способами можно покрасить все натуральные числа от 1 до 200 в красный и синий цвета так, чтобы никакая сумма двух различных одноцветных чисел не равнялась степени двойки?