Наибольшее/наименьшее значение

Из круглого бревна диаметра $d$ требуется вырезать балку прямоугольного сечения. Каковы должны быть ширина $x$ и высота $y$ этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление на изгиб? Сопротивление балки на изгиб пропорционально произведению ширины сечения на квадрат его высоты.

Из круглого бревна диаметра $d$ требуется вырезать балку прямоугольного сечения. Каковы должны быть ширина $x$ и высота $y$ этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление на сжатие? Сопротивление балки на сжатие пропорционально площади ее поперечного сечения.

Лампа висит над центром круглого стола радиуса $r$. При какой высоте лампы над столом освещенность предмета, лежащего на краю стола, будет наилучшая? Освещенность прямо пропорциональна косинусу угла падения лучей света и обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника света.

На прямолинейном отрезке длины $a$, соединяющем два источника света с интенсивностями $I_1$ и $I_2$, найти точку, освещаемую слабее всего. Освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника света.

Расход электропроводника на километр вычисляется как $W(r)=Ar+B/r$, где $r$ [Ом] — сопротивление, $A$ и $B$ — постоянные. При каком сопротивлении проводник будет наиболее экономным?

Найти наибольшее значение функции $y=(x-3)\sqrt {x^2-2}$ на отрезке $[\sqrt {2},~4]$.

Расстояние между городами $A$ и $B$ равно 160 км. Из них одновременно выезжают два автобуса с одинаковой скоростью 80 км/ч. Первый идет из города $A$ в город $B$, второй — по направлению, составляющему с направлением движения первого угол $60^\circ$. Через какое время расстояние между автобусами будет наименьшим?

При подъеме человеком груза массой $x$ на максимально возможную для него высоту мускулы совершают работу $A=bx(1-x/a)$, где $a$ и $b$ — положительные постоянные. При какой массе груза работа будет наибольшей?

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $y=x^3+3x^2-9x+2$ на отрезке $[-4,2]$.

Из трех одинаковых досок изготавливается желоб с равнонаклоненными (под углом $\alpha$) к плоскости дна боками. При каком значении $\alpha$ его объем будет наибольшим?

Газовая смесь состоит из окиси азота и кислорода. Найти концентрацию кислорода, при которой окись азота, содержащаяся в смеси, окисляется с максимальной скоростью. Скорость реакции выражается формулой $V=k(100x^2-x^3)$, где $x$ — концентрация окиси азота (в объемных процентах).

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $y=\displaystyle\frac{2(x^2+3)}{x^2+2x+5}$ на отрезке $[-5,1]$.

Требуется огородить забором прямоугольный участок земли площадью в $294$ м² и разделить затем этот участок забором на две равные прямоугольные части. При каких линейных размерах участка длина всего забора будет наименьшей?

Сопротивление $f$ дороги движению автомобиля при скорости $V$ км/ч на булыжной мостовой выражается формулой $f=29-2V/3+V^2/15$. Определить скорость, при которой сопротивление будет наименьшим.

Найти наименьшее значение функции $y=\displaystyle e^{2x}(4x^2-12x+9)$ на отрезке $[1,2]$.

Угол наклона $\varphi$ наклонной плоскости может меняться от $0$ до $\pi/2$. Найти наименьшую силу, которая удержит груз массой $m$ на этой плоскости при любом $\varphi$. Коэффициент трения груза о плоскость равен $\mu$.

В коническом сосуде, заполненном водой, напряжение $p$, стремящееся разорвать его по образующей, выражается формулой $p=ay(h-y)$, где $h$ — высота сосуда, $y$ — расстояние до уровня жидкости, $a$ — некоторая постоянная. На какой глубине $y$ это напряжение будет наибольшим?

Найти наименьшее значение функции $y=\displaystyle (x-6)\sqrt {2x^2-16}$ на отрезке $[3,6]$.

Каким должно быть сопротивление $r$ электронагревательного прибора, включенного в цепь тока сопротивлением $R$, чтобы в нем выделилось максимальное количество тепла?

Объем газов, удаляемых из топки котла в дымовую трубу благодаря тяге, может быть выжен формулой $\displaystyle V=a\sqrt {\frac {T_0}{T}-\left (\frac {T_0}{T}\right )^2},$ где $T$ — средняя температура газов в трубе, $T_0$ — (абсолютная) температура воздуха вне трубы, $a$ — некоторая постоянная. При каком значении $T$ тяга будет наиболее выгодной?