Текстовые задачи

Из круглого бревна диаметра $d$ требуется вырезать балку прямоугольного сечения. Каковы должны быть ширина $x$ и высота $y$ этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление на изгиб? Сопротивление балки на изгиб пропорционально произведению ширины сечения на квадрат его высоты.

Из круглого бревна диаметра $d$ требуется вырезать балку прямоугольного сечения. Каковы должны быть ширина $x$ и высота $y$ этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление на сжатие? Сопротивление балки на сжатие пропорционально площади ее поперечного сечения.

Лампа висит над центром круглого стола радиуса $r$. При какой высоте лампы над столом освещенность предмета, лежащего на краю стола, будет наилучшая? Освещенность прямо пропорциональна косинусу угла падения лучей света и обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника света.

На прямолинейном отрезке длины $a$, соединяющем два источника света с интенсивностями $I_1$ и $I_2$, найти точку, освещаемую слабее всего. Освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника света.

Расстояние между городами $A$ и $B$ равно 160 км. Из них одновременно выезжают два автобуса с одинаковой скоростью 80 км/ч. Первый идет из города $A$ в город $B$, второй — по направлению, составляющему с направлением движения первого угол $60^\circ$. Через какое время расстояние между автобусами будет наименьшим?

Из трех одинаковых досок изготавливается желоб с равнонаклоненными (под углом $\alpha$) к плоскости дна боками. При каком значении $\alpha$ его объем будет наибольшим?

Требуется огородить забором прямоугольный участок земли площадью в $294$ м² и разделить затем этот участок забором на две равные прямоугольные части. При каких линейных размерах участка длина всего забора будет наименьшей?

Угол наклона $\varphi$ наклонной плоскости может меняться от $0$ до $\pi/2$. Найти наименьшую силу, которая удержит груз массой $m$ на этой плоскости при любом $\varphi$. Коэффициент трения груза о плоскость равен $\mu$.

Каким должно быть сопротивление $r$ электронагревательного прибора, включенного в цепь тока сопротивлением $R$, чтобы в нем выделилось максимальное количество тепла?

Из листа жести, имеющего форму круга радиуса $R$, вырезать такой сектор, из которого получается коническая воронка наибольшего объема.

В точках $A$ и $B$ находятся источники света, один из которых в $8$ раз сильнее другого. Найти отношение, в котором отрезок $AB$ делится наименее освещенной его точкой.

С высоты $H$ над уровнем пола маленький металлический шарик скатывается по гладкому криволинейному желобу. На высоте $h$ желоб обрывается и шарик в дальнейшем совершает свободное падение. В момент отрыва скорость шарика горизонтальна. При каком значении $h$ дальность полета шарика будет наибольшей? Найти дальность полета.

Окно имеет форму прямоугольника, завершенного сверху полукругом. Периметр окна равен $p$. Какова должна быть ширина окна, чтобы оно пропускало наибольшее количество света?

Бревно длиной в $20$ м имеет форму усеченного конуса, диаметры оснований которого равны $2$ м и $1$ м. Требуется вырубить из бревна соосную с ним балку с квадратным поперечным сечением, объем которой был бы наибольшим. Какие размеры будеть иметь такая балка?

Прямоугольное кирпичное помещение должно иметь полезную площадь 80 м², толщину одной из стен 60 см, а остальных трех стен — по 40 см. Каковы должны быть наружные размеры этого помещения, чтобы общая занимаемая им площадь была наименьшей?

Каково соотношение между высотой и диаметром основания цилиндрической консервной банки заданного объема $V$, на изготовление которой затрачено наименьшее количество жести?

Требуется вырезать из круглого бревна диаметром $d$ балку прямоугольного сечения наибольшей прочности. Предполагается, что балка будет оперта на концах и равномерно нагружена. Предельная нагрузка, которую она при этом выдерживает, пропорциональна $ah^2$, где $a$ — основание, а $h$ — высота балки.

Торшер стоит в углу комнаты размерами $4\times3$ м². Какой высоты должен быть торшер, чтобы освещенность центра пола комнаты была наибольшей? (Освещенность в данной точке прямо пропорциональна косинусу угла падения лучей и обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника света).

Сумма высоты и длины окружности основания цилиндрической почтовой посылки не должна превышать $150$ см. Найти размеры наибольшей по объему цилиндрической посылки, которую можно послать почтой.

Сигнал с корабля можно различить в море на расстоянии 1 мили. Корабль $A$ идет на юг, двигаясь со скоростью $6$ миль/ч, и в настоящее время находится в 5 милях к западу от корабля $B$, который идет на запад со скоростью $8$ миль/ч. Будут ли корабли на расстоянии, достаточном для приема сигнала?