Разное

Основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ является равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC=6$ и боковыми сторонами $AB=AC=5$. Расстояние от вершины $A$ призмы до плоскости $(A_1BC)$ (начертите сечение) равно $\displaystyle \frac{12}{5}$. Найти объём призмы.

Основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ является равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC=8$ и боковыми сторонами $AB=AC=5$. Расстояние от вершины $A$ призмы до плоскости $(A_1BC)$ (начертите сечение) равно $\displaystyle \frac{12}{5}$. Найти объём призмы.

Основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ является равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC=10$ и боковыми сторонами $AB=AC=13$. Расстояние от вершины $A$ призмы до плоскости $(A_1BC)$ (начертите сечение) равно $\displaystyle \frac{60}{13}$. Найти объём призмы.

В правильную треугольную пирамиду $SABC$ вписан цилиндр так, что его верхнее основание касается боковых граней пирамиды и вписано в сечение пирамиды плоскостью, проходящей параллельно основанию через точку $M$, делящей высоту $SO$ в отношении $SM:MO=2:3$, а нижнее основание лежит в плоскости основания пирамиды. Найти объём пирамиды, если объём цилиндра равен $4\pi\sqrt3$.

В правильную треугольную пирамиду $SABC$ вписан цилиндр так, что его верхнее основание касается боковых граней пирамиды и вписано в сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину $M$ высоты $SO$, а нижнее основание лежит в плоскости основания пирамиды. Найти объём пирамиды, если объём цилиндра равен $\pi\sqrt3$.

В правильную треугольную пирамиду $SABC$ вписан цилиндр так, что его верхнее основание касается боковых граней пирамиды и вписано в сечение пирамиды плоскостью, проходящей параллельно основанию через точку $M$, делящей высоту $SO$ в отношении $SM:MO=1:2$, а нижнее основание лежит в плоскости основания пирамиды. Найти объём пирамиды, если объём цилиндра равен $2\pi\sqrt3$.

Найти отношение объёма правильной треугольной пирамиды к объёму описанного вокруг неё конуса.

Найти отношение объёма правильной треугольной пирамиды к объёму вписанного в неё конуса.

Найти отношение объёма правильной четырехугольной пирамиды к объёму описанного вокруг неё конуса.

В правильную треугольную пирамиду $SABC$ вписана правильная треугольная призма $LMNL_{1}M_{1}N_{1}$. Все три вершины основания $LMN$ призмы лежат на боковых рёбрах пирамиды. Известно, что $LL_{1}=LM$, т. е. высота призмы равна стороне её основания. Кроме того, $SA=AB=a$, т. е. каждое ребро пирамиды равно $a$. Чему равен объём призмы?

В правильную четырёхугольную пирамиду $SABCD$ вписана правильная четырёхугольная пирамида $OLMNP$. Все четыре вершины основания вписанной пирамиды лежат на апофемах пирамиды $SABCD$. Вершина вписанной пирамиды — точка $O$ — совпадает с центром основания $ABCD$ пирамиды $SABCD$. Известно, что $OL=LM$, т. е. боковое ребро вписанной пирамиды равно стороне её основания. Кроме того, $SA=AB=a$, т. е. каждое ребро пирамиды $SABCD$ равно $a$. Чему равен объём вписанной пирамиды?

В правильную четырёхугольную пирамиду $SABCD$ вписан куб. Все четыре вершины одной из граней куба лежат на основании $ABCD$ пирамиды. Все четыре вершины противоположной грани куба лежат на апофемах пирамиды. Известно, что $SA=AB=a$, т. е. боковое ребро пирамиды равно $a$ и равно стороне её основания. Чему равен объём куба?

На сторонах $BC$ и $B_1C_1$ равных треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ взяты соответственно точки $M$ и $M_1$, причём $BM:MC=B_1M_1:M_1C_1$. Докажите, что $AM=A_1M_1$.

Медиана в треугольнике является его высотой. Докажите, что такой треугольник — равнобедренный.

В треугольнике $ABC$ медиана $AM$ продолжена за точку $M$ на расстояние, равное $AM$. Найти расстояние от полученной точки до вершин $B$ и $C$, если $AB=c$, $AC=b$.

Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, выходящим из одной вершины.

На рисунке $AC=AD$ и $AB \perp CD$. Докажите, что $BC=BD$ и $\angle ACB = \angle ADB$.

Биссектриса треугольника является его медианой. Докажите, что такой треугольник — равнобедренный.

Докажите признак равенства треугольников по углу, биссектрисе этого угла и стороне, прилежащей к этому углу.

Через середину $M‍$ отрезка с концами на двух параллельных прямых проведена прямая, пересекающая эти прямые в точках $A‍$ и $B$.‍ Докажите, что $M‍$ также середина $AB$.‍