Помещение освещается тремя одинаковыми лампочками. Вероятность того, что в течение года лампочка перегорит, равна $0{,}7$. Составить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество лампочек, перегоревших в течение года.
Ответ:
Решение:
Автомат делает не более трёх попыток отправить сообщение, вероятность успешной передачи сообщения при каждой очередной попытке равна $0{,}9$. Случайная величина $X$ — количество попыток, предпринятых автоматом. Составить ряд распределения случайной величины $X$ и вычислить её математическое ожидание.
Указание. Автомат сделает одну, две либо три попытки. В случае, если было сделано три попытки, последняя может быть как успешной, так и не успешной.
Указание. Автомат сделает одну, две либо три попытки. В случае, если было сделано три попытки, последняя может быть как успешной, так и не успешной.
Ответ:
Решение:
В магазине представлено неограниченное количество шоколадных яиц, в каждом из которых с вероятностью $0{,}2$ может находиться один из пяти крокодилов. Ваня хочет собрать всю коллекцию крокодилов. Найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество «киндер-сюпризов», которые придётся купить для завершения коллекции.
Ответ:
Решение:
Пять мальчиков и пять девочек случайным образом рассаживаются за круглым столом. Будем называть мальчика счастливым, если рядом с ним сидят две девочки. Найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество счастливых мальчиков.
Ответ:
Решение:
Пять мальчиков и пять девочек случайным образом рассаживаются за круглым столом. Будем называть мальчика счастливым, если рядом с ним сидит хотя бы одна девочка. Найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество счастливых мальчиков.
Ответ:
Решение:
Маша решила коллекционировать бегемотов из «киндер-сюпризов», и пока в её коллекции нет ни одного бегемота. В магазине на полке лежат 5 шоколадных яиц, в каждом из которых с вероятностью $0,1$ может находиться бегемот. Составить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество «киндер-сюпризов», которые придётся купить для пополнения коллекции.
Ответ:
Решение:
Ваня решил коллекционировать крокодилов из «киндер-сюпризов», и пока в его коллекции нет ни одного крокодила. В магазине на полке лежат 5 шоколадных яиц, в каждом из которых с вероятностью $0,2$ может находиться крокодил. Составить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество «киндер-сюпризов», которые придётся купить для пополнения коллекции.
Ответ:
Решение:
В классе 12 мальчиков и 13 девочек. Из них случайным образом выбирают пятерых для представительства в школьном ученическом совете. Составить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество девочек, выбранных в ученический совет от этого класса.
Ответ:
Решение:
На билете мгновенной лотереи десять скрытых под скретч-слоем окошек. На каждом билете достоверно имеются три окошка, содержащие одинаковый денежный приз (по 100 рублей), а остальные семь окошек без выигрыша. Игрок должен стереть защитный скретч-слой ровно с трёх окошек, в противном случае билет считается недействительным, и оплата выигрыша по нему организатором лотереи не производится. Случайная величина $X$ — общий выигрыш, полученный игроком (0, 100, 200 либо 300 рублей). Составить ряд распределения и найти математическое ожидание такой случайной величины. Какова должна быть минимальная стоимость такого лотерейного билета (с точки зрения выгоды организатора)?
Ответ:
Решение:
Участник викторины последовательно отвечает на три вопроса, при этом он выбывает из игры, если при ответе на очередной вопрос дал неправильный ответ, но набранные к тому времени очки сохраняются. Вероятность дать правильный ответ на первый вопрос равна $0{,}9$, на второй — $0{,}7$, на третий — $0{,}3$. За правильный ответ на первый вопрос участник викторины получает 50 очков, за правильный ответ на второй вопрос — 100, за третий — 150 очков. Случайная величина $X$ — общее количество очков, набранное участником викторины (0, 50, 150 или 300 очков). Составить ряд распределения и найти математическое ожидание такой случайной величины.
Ответ:
Решение:
Помещение освещается двумя одинаковыми лампочками. Вероятность того, что в течение года лампочка перегорит равна $0,6$. Составить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество лампочек, перегоревших в течение года.
Ответ:
Решение:
Помещение освещается двумя одинаковыми лампочками. Вероятность того, что в течение года лампочка перегорит равна $0,4$. Составить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество лампочек, перегоревших в течение года.
Ответ:
Решение:
Рассматриваются всевозможные прямоугольники, вписанные в полуокружность радиуса $R=5$ так, что две вершины прямоугольника лежат на её диаметре, а две другие — на дуге полуокружности. Найти вероятность того, что площадь такого прямоугольника окажется больше чем 24.
Ответ:
Решение:
Составляется квадратное уравнение вида $a^2x^2+bx+1=0$, в котором коэффициенты $a$ и $b$ выбираются случайным образом: $-6 \leqslant a \leqslant 6$, $-4 \leqslant b \leqslant 4$. Найти вероятность того, что это уравнение имеет действительные корни.
Ответ:
Решение:
В квадрате $[-2;~2] \times [-2;~2]$ выбирается случайная точка $(x,~y)$. Вычислить вероятности:
а) $P\{x^2+y^2-4x\geqslant0\}$;
б) $\displaystyle P\left\{\frac{x}{4}-\frac32 \leqslant y \leqslant 4x+6 \right\}$;
в) $P\left\{|x|+|y-1| \leqslant 1 \right\}$.
а) $P\{x^2+y^2-4x\geqslant0\}$;
б) $\displaystyle P\left\{\frac{x}{4}-\frac32 \leqslant y \leqslant 4x+6 \right\}$;
в) $P\left\{|x|+|y-1| \leqslant 1 \right\}$.
Ответ:
Решение:
В корзине лежат 7 белых и 8 черных шаров. Из корзины наугад достают четыре шара. Случайная величина $X$ — количество белых шаров среди тех, которые достали. Составить ряд распределения и найти математическое ожидание такой случайной величины.
Ответ:
Решение:
В экзаменационном билете три вопроса. Вероятность правильно ответить на первый из них равна $0{,}9$, на второй — $0{,}7$, на третий — $0{,}3$. Учащийся получает отметку «3», если правильно ответил ровно на один вопрос (любой), отметку «4» при двух правильных ответах и «5», если правильно ответил на все три вопроса. Если учащийся не ответил ни на один вопрос, он получает отметку «2».
а) Найти вероятность получения отметки «3».
б) Составить ряд распределения случайной величины $X$ — полученная отметка. Найти её математическое ожидание.
в) Учащийся получил отметку «4». Какова вероятность, что он не справился именно с первым вопросом?
а) Найти вероятность получения отметки «3».
б) Составить ряд распределения случайной величины $X$ — полученная отметка. Найти её математическое ожидание.
в) Учащийся получил отметку «4». Какова вероятность, что он не справился именно с первым вопросом?
Ответ:
Решение:
Два стрелка, каждому из которых дали по 15 патронов, стреляют по мишени. Для первого стрелка вероятность попадания при одном выстреле равна $0{,}8$, а для второго — $0{,}6$. Найти математическое ожидание случайной величины $X$ — общее количество попаданий в мишень.
Ответ:
Решение:
Петя и Коля играют в увлекательную игру: разыгрывая очередной тур игры, каждый по очереди бросает шестигранный игральный кубик. Если у Пети количество очков окажется не меньше, чем у Коли, то он выплачивает Коле 100 рублей, а если меньше — то Коля отдаёт Пете 100 рублей. Петя и Коля намерены разыграть 3 тура такой игры. Составить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины $X$ — общая сумма выигрыша Пети (возможные значения: $-300$, $-100$, $100$, $300$).
Ответ:
Решение:
В тесте 10 вопросов, в каждом вопросе 4 варианта ответа, только один из которых правильный. Вовочка решил проверить свою интуицию и в каждом вопросе выбирает вариант ответа наугад. За тест выставляется отметка «5», если дано не менее девяти правильных ответов; отметка «4», если дано не менее семи правильных ответов; отметка «3» за пять или шесть правильных ответов и отметка «2» при менее пяти правильных ответов. Случайная величина $X$ — отметка, которую получит Вовочка. Составить ряд распределения такой случайной величины и найти её математическое ожидание.
Ответ:
Решение: