Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 331
Про последовательность $\{a_n\}$ известно, что $a_1=1{,}5$ и $a_n=\dfrac{1}{n^2-1}$ при $n\in\mathbb N$, $n\gt 1$. Существуют ли такие значения $n$, что сумма первых $n$ членов этой последовательности отличается от $2{,}25$ меньше, чем на $0{,}01$? Если да, то найдите наименьшее из них.
Ответ:
Решение:
Дана последовательность $\{a_n\}$, в которой $a_1=19$, а отношение каждого следующего элемента к предыдущему при всех целых $n\geqslant 2$ равно \[ \frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{(n^2+1)\cdot n}{(n-1)^2+1}. \] Найдите отношение 2023-го члена последовательности к сумме её первых 2022 членов.
Ответ:
Решение:
Найдите величину\[f\left(\frac{1}{2016}\right)+f\left(\frac{2}{2016}\right)+\ldots+f\left(\frac{2016}{2016}\right),\]если $f(x)=\dfrac{x^3+9x-2}{x^2-x+2}$.
Ответ:
Решение:
Какое из чисел больше: $\dfrac{1}{99}$ или\[\frac{1}{9903}+\frac{1}{9903+200}+\frac{1}{9903+200+202}+\ldots+\frac{1}{9903+200+202+\ldots+2018}?\]
Ответ:
Решение:
Можно ли данный двугранный угол величиной $90^\circ$ пересечь плоскостью так, чтобы в полученном сечении образовался угол величиной $110^\circ$?
Ответ:
Решение:
В пирамиде $SABC$ $AB=BC$, $SB=SN$, где $N$ — середина отрезка $AC$, а тангенс угла между плоскостями $SAB$ и $ABC$ относится к тангенсу угла между плоскостями $SBC$ и $ABC$ как $5:2$. Плоскость $\pi$ параллельна $BC$, делит ребро $SA$ в отношении $1:2$, считая от вершины $S$, и проходит через основание $O$ высоты $SO$ пирамиды $SABC$. Найти отношение объёмов многогранников, на которые эта плоскость делит пирамиду $SABC$.
Ответ:
Решение:
Архив фотографий укладывают в порядке их нумерации в одинаковые альбомы, ровно по $4$ фотографии на одну страницу. При этом $81$-я по счёту фотография попала на $5$-ю страницу одного из альбомов, $171$-я — на $3$-ю страницу другого. Сколько фотографий вмещает каждый альбом?
Ответ:
Решение:
Деревянный параллелепипед, все стороны которого выражаются целым числом сантиметров, покрасили красной краской, а после этого распилили параллельно граням на кубики со стороной $1$ см. Оказалось, что у трети получившихся кубиков хотя бы одна грань красная, а у оставшихся двух третей все грани не окрашены. Найдите длину параллелепипеда, если она на $2$ см больше ширины и на $4$ см больше высоты.
Ответ:
Решение:
Пете на день рождения подарили новый электролобзик, с функцией подсчёта длины сделанных пропилов. Чтобы опробовать подарок, Петя взял квадратный кусок фанеры со стороной 50 см и распилил его на квадраты со стороной 10 см и квадраты со стороной 20 см. Сколько всего квадратов получилось, если электролобзик показывает общую длину пропилов 2 м 80 см?
Ответ:
Решение:
Автодром состоит из трех попарно касающихся кольцевых трасс (см. рисунок). Автомобиль в любой точке касания может продолжать движение по любой из двух возможных трасс, но нигде не может разворачиваться на $180^\circ$. По каждой из трех трасс автомобиль едет со своей скоростью, так что любую из дуг $AB$ длиной 15 км он проезжает за 7 минут, любую из дуг $BC$ длиной 25 км — за 11 минут, а любую из дуг $AC$ — за 17 минут. Выехав из точки $A$, автомобиль через 1 час 25 минут оказался в ней же. Сколько километров проехал автомобиль?
Ответ:
Решение:
В течение четверти учитель по пению ставил детям оценки «1», «2», «3», «4» и «5». Среднее арифметическое всех оценок Вовочки оказалось равным в точности 3,5. И тогда по предложению Вовочки учитель заменил одну его оценку «4» парой оценок «3» и «5». Докажите, что от этого средняя оценка Вовочки по пению увеличилась. Найдите наибольшее возможное её значение после такой замены:
а) одной оценки «4»;
б) всех его оценок «4».
а) одной оценки «4»;
б) всех его оценок «4».
Ответ:
Решение:
Автодром состоит из трёх попарно касающихся кольцевых трасс (см. рисунок). Автомобиль в любой точке касания может продолжать движение по любой из двух возможных трасс, но нигде не может разворачиваться на $180^\circ$. По каждой из трёх трасс автомобиль едет со своей скоростью, так что любую из дуг $AB$ длиной 15 км он проезжает за 7 минут, любую из дуг $BC$ длиной 25 км — за 11 минут, а любую из дуг $AC$ — за 17 минут. Выехав из точки $A$, автомобиль через 1 час 25 минут оказался в ней же. Сколько километров проехал автомобиль?
Ответ:
Решение:
Незнайка прыгал от своего дома к дому Знайки. Три четверти пути он пропрыгал прыжками, длина которых равна двум его обычным шагам, а остальную четверть пути — прыжками, длина которых равна трём его обычным шагам. Оказалось, что прыжков в два шага оказалось на 350 больше, чем прыжков в три шага. Сколько обычных шагов от дома Знайки до дома Незнайки? Считаем, что все шаги у Незнайки одинаковые.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найдите координаты всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от всех точек пересечения парабол, заданных в декартовой системе координат на плоскости уравнениями $y=2x^2-1$ и $x=4y^2-2$.
Ответ:
Решение:
Точка $A$ на плоскости находится на одинаковом расстоянии от всех точек пересечения двух парабол, заданных в декартовой системе координат на плоскости уравнениями $y=-3x^2+2$ и $x=-4y^2+2$. Найдите это расстояние.
Ответ:
Решение:
Старинный подземный ход имеет свод параболической формы (то есть в поперечном сечении туннель ограничен полом — осью $Ox$ и графиком некоторой параболы $y=a-bx^2$). Ширина туннеля (измеряется по полу) равна 24, высота туннеля равна 18. Ход укрепили распорками — на параболе отметили точки $A$, $B$, $C$, $D$ и соединили их между собой балками. Балки $AB$ и $CD$ параллельны полу, $AD$ пересекается с $BC$, и при этом $\angle ACB=\angle ADB=90^\circ$. Найдите расстояние между балками $AB$ и $CD$.
Ответ:
Решение:
На чертеже есть парабола и три точки $A$, $B$, $C$. Из каждой точки к параболе проведены две перпендикулярные друг другу касательные. Расстояние от вершины $O$ параболы до прямой $AC$ равно 2. Найдите площадь треугольника $OAB$, если $AC=4$, а $BC=3$.
Ответ:
Решение: