Поиск задач

Дан вписанный четырехугольник $ABCD$. Лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $E$, а лучи $DA$ и $CB$ — в точке $F$. Луч $BA$ пересекает описанную вокруг треугольника $DEF$ окружность в точке $L$, а луч $BC$ пересекает ту же окружность в точке $K$. Длина отрезка $LK$ равна 5, $\angle EBC=15^\circ$. Найти радиус окружности, описанной около треугольника $EFK$.

Окружность проходит через вершины $A$ и $C$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$) и пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$, соответственно. $MK$, хорда этой окружности, равная по длине $2\sqrt5$, содержит точку $H$, лежащую на $AC$ и являющуюся основанием высоты треугольника $ABC$. Прямая, проходящая через точку $C$ и перпендикулярная $BC$, пересекает прямую $MN$ в точке $L$. Найти радиус окружности, описанной около треугольника $MKL$, если $\cos\angle ABK=\frac23$.

На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $K$ так, что $AK=9\sqrt2/2$, $BK=9$, $KC=3$. Около треугольника $ABK$ описана окружность. Через точку $C$ и точку $D$, лежащую на стороне $AB$, проведена прямая, которая пересекает окружность в точке $P$, причем $CP\gt CD$. Найдите $DP$, если $\angle APB=\angle BAC$, $CD$ — биссектриса треугольника $ABC$.

Изобразите на координатной плоскости фигуру, заданную неравенством, и вычислите её площадь: $x^2+y^2+4(x-|y|)\leqslant 0$.

Изобразите на плоскости в декартовой системе координат множество точек $(x;y)$, удовлетворяющих системе условий \[ \begin{cases} |x+2y|\lt |2x+3y|,\\ x^2-2x+4+y^2-2y\leqslant 6. \end{cases} \] Определите количество и найдите координаты всех точек с целочисленными координатами (обоими), принадлежащих множеству-ответу. В ответе укажите сумму всех абсцисс найденных точек, умноженную на их количество.

Изобразите на плоскости в декартовой системе координат множество точек $(x;y)$, удовлетворяющих системе условий \[ \begin{cases} x^2-2y+3+y^2+2x\lt 10,\\ |y+2x|\geqslant|3x+2y|. \end{cases} \] Определите количество и найдите координаты всех точек с целочисленными координатами (обоими), принадлежащих полученному множеству. В ответе укажите сумму всех ординат найденных точек, умноженную на их количество.

Найдите площадь плоской фигуры, которая на координатной плоскости $Oxy$ задана системой неравенств \[ \begin{cases} x^2+y^2+2(y-x)\leqslant23,\\ y+|x-2|+1\leqslant0. \end{cases} \]

Окружности радиусов $r_1$, $r_2$, $r_3$, $r_4$ ($r_1\lt r_2\lt r_3\lt r_4$) вписаны в угол. Каждая следующая окружность касается предыдущей окружности. Найдите \[ \frac{L_1+L_3}{\pi}, \] где $L_1+L_3$ — сумма длин первой и третьей окружностей, если длина радиуса четвёртой окружности равна $r_4=64$, а площадь круга, ограниченного второй окружностью с радиусом $r_2$, равна $16\pi$.

В угол $60^\circ$ вписана окружность радиуса $1$. Вторая окружность касается сторон угла и первой окружности. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных окружностей и одной из сторон угла.

Окружность радиуса $1$ касается сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$, а окружность радиуса $3$ внешним образом касается первой окружности и сторон $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$. Общая касательная к этим окружностям, не содержащая сторону $BC$, пересекает отрезки $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите длины сторон треугольника $ABC$, если $\angle AMN=30^\circ$, $\angle ANM=90^\circ$.

Окружность радиуса $4$ касается сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$, а окружность радиуса $12$ внешним образом касается первой окружности и сторон $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$. Общая касательная к этим окружностям, не содержащая сторону $BC$, пересекает отрезки $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите площадь треугольника $AMN$, если $\angle AMN=30^\circ$, $\angle ANM=90^\circ$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ боковая сторона $AB$ равна $2$, отрезок $AD$ является биссектрисой. Через точку $D$ проведена касательная $DH$ к окружности, описанной около треугольника $ADB$, точка $H$ лежит на стороне $AC$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $CD=CH\sqrt2$.

В острый угол вписали 1-ю окружность радиуса 2020 мм, затем вписали 2-ю окружность меньшего радиуса так, что она касается предыдущей, после вписали в угол третью окружность так, что она касается второй, и т. д. Укажите номер окружности наибольшего радиуса среди тех, у которых радиус меньше 1 мм, если косинус данного угла равен $7/9$.

Высота $BH$ треугольника $ABC$ является диаметром окружности, которая пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Прямые, касающиеся этой окружности в точках $D$ и $E$, пересекаются в точке $F$. Прямая $BF$ пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Найдите отношение $AK:KC$ и длины отрезков $DF$ и $BK$, если $BH=12$, $AD=\dfrac{25}{13}$, $CE=\dfrac{27}{5}$.

Сотовая связь — это целый мир возможностей. Но чтобы пользоваться ими, нужно быть в зоне действия базовой станции. Сети GSM (2G) имеют мощность, которая позволяет покрывать территорию радиусом до 35 километров на открытой местности. В городских условиях, где много зданий, зона приёма сигнала значительно уменьшается. Сети 3G и 4G (LTE) работают на более высоких частотах, чем сети 2G, и их сигнал хуже проникает сквозь препятствия и больше подвержен помехам. В сетях GSM было достаточно нескольких вышек, чтобы покрывать большие территории, а для 3G и 4G сетей для обеспечения надежной связи требуется больше вышек. В городе установлен ретранслятор GSM сети, который обеспечивает покрытие в пределах окружности радиусом $R=24$ км. Центр окружности — основание вышки. Однако из-за особенностей рельефа зона покрытия этого ретранслятора ограничена хордой, проведённой внутри этой окружности. Хорда находится на расстоянии $d=3$ км от центра окружности. В меньшем сегменте, образованном хордой, необходимо установить два дополнительных ретранслятора (3G вышки) так, чтобы их зоны покрытия касались друг друга, хорды и основной окружности. Каждый из этих ретрансляторов имеет круговую зону покрытия одинакового радиуса $r$. Найдите радиусы зон покрытия двух дополнительных ретрансляторов, которые нужно установить в меньшем сегменте. Определите площадь части меньшего сегмента, которая не попадает в зону действия дополнительных ретрансляторов.

В прямоугольном треугольнике $ABC$: $\angle ACB=90^\circ$, $AC=6$, $BC=4$. На прямой $BC$ отмечается такая точка $D$ ($CD\gt BD$), что $\angle ADC=45^\circ$. На прямой $AD$ отмечается такая точка $E$, что периметр треугольника $CBE$ — наименьший из возможных. Затем, на прямой $DC$ отмечается такая точка $F$, что периметр треугольника $AFE$ — наименьший из возможных. Найти $CF$.

В треугольнике $ABC$ с основанием $AC=14$ и боковыми сторонами $AB=13$ и $BC=15$ из центра вписанной окружности строится ломаная линия из трех звеньев так, что конечная ее точка — центр описанной около $ABC$ окружности, а еще две точки $M$ и $K$ лежат на боковых сторонах треугольника $ABC$. Найдите площадь треугольника $MBK$, если длина этой ломаной линии наименьшая.

На боковых сторонах $AB$ и $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ наружу построены равнобедренные прямоугольные треугольники $ABD$ и $BCF$ с катетами, равными соответствующим сторонам $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$. Прямые $FB$ и $DC$ пересекаются в точке $M$, а $FA$ и $BC$ — в точке $N$. Найдите градусную меру $\angle BMN$.

Квадратный трёхчлен $f(x)$ имеет один корень. Кроме того, уравнение \[ f(3x+4)+f(-2x+14)=0 \] имеет корень. Найдите корень квадратного трёхчлена $f(2x+2)$.

Дан многочлен $P(x)=\frac{1}{16}\left(4x^5-x^3+1\right)^3\left(x^4-x+2\right)$. Найдите все натуральные решения уравнения $Ax+By=37$, где $A$ — сумма коэффициентов многочлена $P(x)$, стоящих при четных степенях $x$, $B$ — сумма коэффициентов многочлена $P(x)$, стоящих при нечетных степенях $x$.