Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 306
На ребрах $AB$ и $DC$ треугольной пирамиды $ABCD$ расположены точки $M$ и $N$ так, что \[ AM:AB=1:2\quad\text{и}\quad DN:DC=1:3. \] На прямых $DM$ и $AN$ взяты точки $P$ и $Q$ так, что прямые $PQ$ и $BC$ параллельны. Найти отношение длин отрезков $PQ:BC$.
Ответ:
Решение:
На ребре $AD$ основания куба $ABCDA'B'C'D'$ ($AA'$, $BB'$, $CC'$, $DD'$ параллельные боковые ребра) расположена точка $M$ так, что $AM:AD=1:3$. Через точку $M$ и вершины $A'$ и $C'$ куба проведена плоскость $P$. Найти расстояние до плоскости $P$ точки $N$, расположенной на ребре $AB$ так, что $AN:AB=1:2$, если длина ребра куба равна $2\sqrt{19}$.
Ответ:
Решение:
Длины всех ребер (боковых и основания) тетраэдра $ABCD$ равны $1$. На ребре $AB$ расположена точка $M$ так, что $AM:AB=1:3$. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми $CM$ и $AD$.
Ответ:
Решение:
По диагоналям оснований $AC$ и $B_1D_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a$ ползут два муравья Гоша и Леша. Движение они начали одновременно из точек $A$ и $B_1$ соответственно с постоянной скоростью, причем скорость Леши была в два раза больше скорости передвижения Гоши, и закончили, когда Леша оказался в точке $D_1$. Какое наименьшее расстояние разделяло Гошу и Лешу во время движения?
Ответ:
Решение:
Точка $M$ лежит на ребре $AB$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В квадрат $ABCD$ вписан прямоугольник $MNLK$ так, что одной из его вершин является точка $M$, а три другие расположены на различных сторонах квадрата основания. Прямоугольник $M_1N_1L_1K_1$ является ортогональной проекцией прямоугольника $MNLK$ на плоскость верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$. Диагонали четырехугольника $MK_1L_1N$ перпендикулярны. Найти отношение $AM:MB$.
Ответ:
Решение:
При каких $a$
- уравнение $f(f(x))=x$ имеет бесконечное число решений;
- уравнение $f(f(f(f(x))))=x$ имеет бесконечное число решений
Ответ:
Решение:
Точка $M$ делит сторону $BC$ параллелограмма $ABCD$ в отношении $BM:MC=2$. Прямая $AM$ пересекает диагональ $BD$ в точке $K$. Найти площадь четырехугольника $CMKD$, если площадь параллелограмма $ABCD$ равна $1$.
Ответ:
Решение:
На гипотенузе прямоугольного треугольника, у которого один катет в три раза больше другого, во внешнюю сторону построен правильный треугольник. В каком отношении биссектриса прямого угла делит его площадь?
Ответ:
Решение:
Даны два отрезка длины $1$ и $\sqrt2+\sqrt3$ соответственно. С помощью циркуля и линейки без делений построить отрезок длины $\sqrt5$.
Ответ:
Решение:
Длины сторон параллелограмма равны $3$ и $2$. Биссектрисы всех его внутренних углов ограничивают на плоскости многоугольник. Найти отношение его площади к площади параллелограмма.
Ответ:
Решение:
Точка $M$ — середина стороны $AD$ параллелограмма $ABCD$. Прямая $CM$ наклонена к основанию $AD$ под углом $30^\circ$. Вершина $B$ равноудалена от прямой $CM$ и вершины $A$. Найти углы параллелограмма. Найти площадь параллелограмма, если длина основания $AD$ равна 2.
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ с параллельными сторонами $AD$ и $BC$ проведена прямая $L$, параллельная $AD$ и пересекающая стороны $AB$ и $CD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Известно, что четырехугольники $AMND$ и $MBCN$ подобные, а сумма длин сторон $AD$ и $BC$ не больше $4$. Найти наибольшую возможную при этих условиях длину отрезка $MN$.
Ответ:
Решение:
Трапеция $ABCD$ ($AD\parallel BC$) с прямым углом при вершине $A$ описана около окружности. Ее диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$. Найти площадь треугольника $ABM$, если длина стороны $AB$ равна 2.
Ответ:
Решение:
Основание $AD$ параллелограмма $ABCD$ разбито точками $M_1$, $M_2$, $\ldots$, $M_9$ на десять равных частей. Прямые $BM_1$, $BM_2$, $\ldots$, $BM_9$ пересекают диагональ $AC$ в точках $N_1$, $N_2$, $\ldots$, $N_9$ соответственно. Найти длину седьмого по счету от вершины $A$ отрезка разбиения диагонали этими точками, если длина диагонали равна $136$.
Ответ:
Решение:
Точка $M$ расположена на стороне $CD$ прямоугольника $ABCD$ так, что $CM:MD=1:2$. На отрезке $AM$ выбрана точка $N$ так, что $AN:NM=3:1$. Прямая $DN$ пересекает отрезок $MB$ в точке $P$. Найти отношение $MP:PB$.
Ответ:
Решение:
Через вершину $A$ треугольника $ABC$ проведена прямая, пересекающая сторону $BC$ в точке $D$ и делящая площадь треугольника в отношении $1:7$. Другая прямая, параллельная $AD$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно и делит площадь треугольника $ABC$ пополам. В каком отношении точки $M$ и $N$ делят стороны $AB$ и $BC$?
Ответ:
Решение:
На сторонах $AB$ и $AC$ остроугольного треугольника $ABC$ вовне построены два равных прямоугольника $AMNB$ и $APQC$. Найти расстояние между вершинами $N$ и $Q$ прямоугольников, если длины сторон $AB$ и $AC$ равны 3 и 4 соответственно, а угол при вершине $A$ треугольника равен $30^\circ$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведены срединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $AC$, пересекающие прямые $AC$ и $AB$ в точках $N$ и $M$ соответственно. Длина отрезка $NM$ равна длине стороны $BC$ треугольника. Найти угол при вершине $A$ треугольника.
Ответ:
Решение:
Доказать формулу «сложного корня» \[ \sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{\dfrac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}} \] и с ее помощью вычислить величину $\left(\dfrac{\sqrt{13+\sqrt{48}}-1}{\sqrt{7-\sqrt{24}}+1}\right)^2$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение: