Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 385
Прямая пересекает основание $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ в точке $D$, боковую сторону $AB$ в точке $E$ и луч $CB$ в точке $F$, причём $\angle ADE=\angle CDB$. Докажите, что площади треугольников $BCE$ и $AEF$ равны.
Ответ:
Решение:
Внутри треугольника $ABC$ расположена точка $P$. На стороне $BC$ выбрана точка $H$, не совпадающая с серединой стороны. Оказалось, что биссектриса угла $AHP$ перпендикулярна стороне $BC$, угол $ABC$ равен углу $HCP$ и $BP=AC$. Докажите, что $BH=AH$.
Ответ:
Решение:
Биссектриса угла $A$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекает сторону $CD$ в точке $K$. Оказалось, что $DK=BC$ и $KC+AB=AD$. Докажите, что $\angle BCD=\angle ADC$.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ выбраны точки $P$ и $Q$ соответственно. Отрезки $CP$ и $AQ$ пересекаются в точке $R$. Оказалось, что $AR=CR=PR+QR$. Докажите, что из отрезков $AP$, $CQ$ и $PQ$ можно составить треугольник, один из углов которого равен углу $B$.
Ответ:
Решение:
Внутри треугольника $ABC$ выбрана точка $K$ такая, что \[ \angle KCB+\angle ACB=\angle KBC+\angle ABC=120^\circ. \] На продолжении стороны $AB$ за точку $B$ выбрана точка $P$, а на продолжении стороны $AC$ за точку $C$ — точка $Q$ таким образом, что $BK=BP$ и $CK=CQ$. Докажите, что $BQ=CP$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$. Известно, что $\angle ABM=40^\circ$, а $\angle CBM=70^\circ$. Найдите отношение $AB:BM$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина $AC$, кроме того, \[BC=2AC/3\quad\text{и}\quad \angle BMC=2\angle ABM.\] Найдите отношение $AM/AB$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ взята точка $K$. $KM$ и $KP$ — это биссектрисы треугольников $AKB$ и $AKC$ соответственно. Оказалось, что диагональ $MK$ делит четырёхугольник $BMPK$ на два равных треугольника. Докажите, что $M$ — середина $AB$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $BD$, а в треугольниках $ABD$ и $CBD$ — биссектрисы $DE$ и $DF$ соответственно. Оказалось, что $EF\parallel AC$. Найдите угол $DEF$.
Ответ:
Решение:
Боря нарисовал девять отрезков, три из которых равны трём высотам треугольника $ABC$, три — трём биссектрисам, три — трём медианам. Оказалось, что для любого из нарисованных отрезков среди остальных восьми найдётся равный ему. Докажите, что треугольник $ABC$ — равнобедренный.
Ответ:
Решение:
Вершина $C$ равнобедренной трапеции $ABCD$ ($AD\parallel BC$) лежит на основании $AE$ прямоугольного равнобедренного треугольника $ADE$. Докажите, что прямая $CD$ перпендикулярна прямой $BE$.
Ответ:
Решение:
$AH$ — высота равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$). $HK$ — высота треугольника $AHB$. Оказалось, что $4HK=AB$. Чему могла быть равна градусная мера угла $ABC$? Принимаются только ответы, данные в виде целых чисел или десятичных дробей.
Ответ:
Решение:
Внутри параллелограмма $ABCD$ выбрана точка $E$ так, что $AE=DE$ и $\angle ABE=90^\circ$. Точка $M$ — середина отрезка $BC$. Найдите угол $DME$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ точка $M$ — середина основания $AD$. Известно, что $\angle ABD=90^\circ$ и $BC=CD$. На отрезке $BD$ выбрана точка $F$ такая, что $\angle BCF=90^\circ$. Докажите, что $MF\perp CD$.
Ответ:
Решение:
Точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно треугольника $ABC$. На продолжении отрезка $CM$ за точку $M$ отмечена точка $D$. Оказалось, что $BC=BD=2$ и $AN=3$. Докажите, что $\angle ADC=90^\circ$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $BK$ и $CL$. На отрезке $BK$ отмечена точка $N$ так, что $LN\parallel AC$. Оказалось, что $NK=LN$. Найдите величину угла $ABC$.
Ответ:
Решение:
Сторона $BC$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ видна из середины $M$ его стороны $AD$ под углом $90^\circ$. Биссектрисы треугольника $BMC$ пересекаются в точке $I$. Известно, что \[\angle ABM=\angle MIC \quad\text{и}\quad \angle BIM=\angle MCD.\] Докажите, что $AI=DI$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ точка $K$ — середина биссектрисы $BL$. Известно, что $AK=AL$ и $AK\perp BC$. Найдите величину угла $ABC$.
Ответ:
Решение:
Точки $M$ и $N$ — середины биссектрис $AK$ и $CL$ треугольника $ABC$ соответственно. Докажите, что угол $ABC$ прямой тогда и только тогда, когда $\angle MBN=45^\circ$.
Ответ:
Решение:
Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Точка $P$ такова, что $DOCP$ — тоже параллелограмм ($CD$ — его диагональ). Обозначим через $Q$ точку пересечения $BP$ и $AC$, а через $R$ — точку пересечения $DQ$ и $CP$. Докажите, что $PC=CR$.
Ответ:
Решение: