Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 385
Внутри трапеции $ABCD$ ($BC\parallel AD$), где $AD=2BC$, взята точка $F$, для которой $AB=FB$. Точка $M$ — середина отрезка $FD$. Докажите, что $CM\perp FA$.
Ответ:
Решение:
Могут ли медиана и биссектриса, проведенные из вершины $A$ остроугольного треугольника $ABC$, делить высоту $BH$ этого треугольника на три равные части?
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ биссектриса угла $B$ пересекает основание $AD$ в точке $L$. Точка $M$ — середина стороны $CD$. Прямая, параллельная $BM$ и проходящая через $L$, пересекает сторону $AB$ в точке $K$. Оказалось, что угол $BLM$ — прямой. Найдите отношение $BK/KA$.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AB$, $BC$, $CA$ равностороннего треугольника $ABC$ выбраны точки $K$, $L$, $M$ соответственно так, что $AK=1$, $BL=2$, $CM=3$. Известно, что $\angle MKL=60^\circ$. Найдите сторону треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Диагонали трапеции $ABCD$ ($AD\parallel BC$) пересекаются в точке $K$. Внутри треугольника $ABK$ нашлась такая точка $M$, что $\angle MBC=\angle MAD$, $\angle MCB=\angle MDA$. Докажите, что прямая $MK$ параллельна основаниям трапеции.
Ответ:
Решение:
Внутри параллелограмма $ABCD$ отмечена точка $E$, лежащая на биссектрисе угла $A$, и точка $F$, лежащая на биссектрисе угла $C$. Известно, что середина отрезка $BF$ лежит на отрезке $AE$. Докажите, что середина отрезка $DE$ лежит на прямой $CF$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ больше стороны $BC$. На продолжении стороны $BC$ за точку $C$ отметили точку $N$ так, что $2BN=AB+BC$. Пусть $BS$ — биссектриса треугольника $ABC$, $M$ — середина стороны $AC$, а $L$ — такая точка на отрезке $BS$, что $ML\parallel AB$. Докажите, что $2LN=AC$.
Ответ:
Решение:
$CK$ — биссектриса треугольника $ABC$. На сторонах $BC$ и $AC$ выбраны точки $L$ и $T$ соответственно такие, что $CT=BL$ и $TL=BK$. Докажите, что треугольник с вершинами в точках $C$, $L$ и $T$ подобен исходному.
Ответ:
Решение:
Вершина $F$ параллелограмма $ACEF$ лежит на стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$. Известно, что $AC=AD$ и $AE=2CD$. Докажите, что $\angle CDE=\angle BEF$.
Ответ:
Решение:
Дан выпуклый четырёхугольник $ABSC$. На диагонали $BC$ выбрана точка $P$ так, что $AP=CP\gt BP$. Точка $Q$ симметрична точке $P$ относительно середины диагонали $BC$, а точка $R$ симметрична точке $Q$ относительно прямой $AC$. Оказалось, что $\angle SAB=\angle QAC$ и $\angle SBC=\angle BAC$. Докажите, что $SA=SR$.
Ответ:
Решение:
На средней линии равностороннего треугольника $ABC$, параллельной стороне $BC$, взята точка $D$. Точка $E$ на продолжении стороны $BA$ за точку $A$ такова, что $\angle ECA=\angle DCA$. Точка $F$ на продолжении стороны $CA$ за точку $A$ такова, что $\angle FBA=\angle DBA$. Докажите, что точка $A$ лежит на средней линии треугольника $DEF$, параллельной стороне $EF$.
Ответ:
Решение:
$CL$ — биссектриса треугольника $ABC$. $CLBK$ — параллелограмм. Прямая $AK$ пересекает отрезок $CL$ в точке $P$. Оказалось, что точка $P$ равноудалена от диагоналей параллелограмма $CLBK$. Докажите, что $AK\geqslant CL$.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $D$. На стороне $AB$ выбрана точка $P$. Отрезки $PC$ и $AD$ пересекаются в точке $Q$. Точка $R$ — середина отрезка $AP$. Докажите, что существует фиксированная точка $X$, через которую прямая $RQ$ проходит при любом выборе точки $P$.
Ответ:
Решение:
Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$, в котором $AB=BC=CD=4$. На сторонах $AB$ и $CD$ выбраны точки $K$ и $L$ соответственно таким образом, что $AK=DL=1$. На стороне $AD$ снаружи четырёхугольника построен треугольник $AMD$, в котором $AM=MD=2$. Оказалось, что $KL=2$. Докажите, что $BM=CM$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $BD$, в треугольнике $BDC$ — биссектрису $DE$, а в треугольнике $DEC$ — биссектрису $EF$. Оказалось, что прямые $BD$ и $EF$ параллельны. Докажите, что угол $ABC$ вдвое больше угла $BAC$.
Ответ:
Решение:
$ABCD$ — выпуклый четырёхугольник, где $AB=7$, $BC=4$, $AD=DC$, $\angle ABD=\angle DBC$. Точка $E$ на отрезке $AB$ такова, что $\angle DEB=90^\circ$. Найдите длину отрезка $AE$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $BE$ и серединный перпендикуляр $m$ к стороне $AB$. Оказалось, что $BE=EC$, а прямая $m$ пересекает сторону $BC$. Докажите, что угол $C$ меньше 36 градусов.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) точка $M$ — середина стороны $AB$, а точка $K$ на стороне $AC$ такова, что $\angle ABK=\angle BKA$. Оказалось, что $KB=KM$. Докажите, что $2AC=3AB$.
Ответ:
Решение:
Биссектрисы углов $A$ и $C$ разрезают неравнобедренный треугольник $ABC$ на четырёхугольник и три треугольника, причём среди этих трёх треугольников есть два равнобедренных. Найдите углы треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ угол $C$ в 2 раза больше угла $B$, $CD$ — биссектриса. Из середины $M$ стороны $BC$ опущен перпендикуляр $MH$ на отрезок $CD$. На стороне $AB$ нашлась такая точка $K$, что $KMH$ — равносторонний треугольник. Докажите, что точки $M$, $H$ и $A$ лежат на одной прямой.
Ответ:
Решение: