Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 331
В треугольнике $ABC$, основание $AB$ которого лежит на оси абсцисс, проведены высоты $AM$, $BN$ и $CK$. Найдите длину основания $AB$, если известны координаты точек $M(2,2)$ и $N(4,4)$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ провели биссектрису $BP$. Докажите, что если угол $BAC$ равен $100^\circ$, то $AP+PB=BC$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ точки $P$ и $Q$ — середины биссектрис, проведённых из вершин $A$ и $B$. Вписанная в треугольник окружность касается гипотенузы в точке $H$. Найдите угол $PHQ$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ со стороной $AC=1$ провели высоту $BH$, в треугольнике $BHC$ — биссектрису $CL$, в треугольнике $BLC$ — медиану $BM$. Прямая $AL$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$, причём $\angle BHK=\angle MHC=15^\circ$. Найдите площадь четырёхугольника $KLHM$.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Найдите величину угла $ACB$, если известно, что $\angle ACD=72^\circ$ и $AB=BD$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $DB$ перпендикулярны сторонам $DC$ и $AB$ соответственно. Из точки $B$ проведён перпендикуляр на сторону $AD$, пересекающий $AC$ в точке $O$. Найдите $AO$, если $AB=4$, $OC=6$.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Касательные к этой окружности, проведённые в точках $A$ и $C$, пересекаются на прямой $BD$. Найдите сторону $AD$, если $AB=2$ и $BC:CD=4:5$.
Ответ:
Решение:
Из отрезков длин 3, 5, 7 и 9 составлен четырёхугольник, в который вписана окружность. К ней проведены две касательные: одна пересекает одну пару соседних сторон четырёхугольника, а другая — пару оставшихся. Найдите разность периметров треугольников, отсечённых от четырёхугольника этими касательными.
Ответ:
Решение:
В окружность радиуса 3 вписан четырёхугольник, три стороны которого равны $3$, $3$, $3\sqrt{2}$. Найдите максимально возможную площадь такого четырёхугольника.
Ответ:
Решение:
По деревянному бруску (прямоугольному параллелепипеду) высотой 25 и площадью основания 60 делаются последовательно два плоских параллельных наклонных среза: второй — на 2 ниже первого. После первого среза, наивысшая и наинизшая точки которого находятся на высоте 15 и 10, остаётся нижняя часть бруска, которую перед вторым срезом можно повернуть на любой угол вокруг вертикальной оси, проходящей через центр симметрии основания бруска. Каков наименьший возможный объем верхнего кусочка, отсекаемого от этой части вторым срезом?
Ответ:
Решение:
Куб с ребром $a=\sqrt{2+\sqrt3}$ освещается цилиндрическим лучом света радиуса $\rho=\sqrt2$, направленным вдоль главной диагонали куба. Найдите площадь освещённой части поверхности куба.
Ответ:
Решение:
Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 5, 12 и 13, а её высота образует с высотами боковых граней (опущенными из той же вершины) одинаковые углы, не меньшие $30^\circ$. Какой наибольший объём может иметь такая пирамида?
Ответ:
Решение:
На ребре $AS$ треугольной пирамиды $SABC$ отмечены такие точки $M$ и $N$, что $AM=MN=NS$. Найдите площадь треугольника $NBC$, если площади треугольников $ABC$, $MBC$ и $SBC$ равны 1, 2 и $\sqrt{37}$ соответственно.
Ответ:
Решение:
Каков минимальный объём пирамиды, у которой в основании лежит правильный треугольник со стороной 6, а все плоские углы при вершине равны между собой и не превосходят $2\arcsin\dfrac13$?
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее значение объёма треугольной пирамиды, у которой противоположные рёбра попарно равны, а сумма длин всех рёбер равна $36\sqrt2$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
В неправильной пирамиде $ABCD$ сумма плоских углов при вершине $A$ равна $180^\circ$. Найдите площадь поверхности этой пирамиды, если площадь грани $BCD$ равна $S$ и $AB=CD$, $AD=BC$.
Ответ:
Решение:
В неправильной пирамиде $ABCD$ суммы плоских углов при вершинах $A$ и $B$ одинаковы, суммы плоских углов при вершинах $C$ и $D$ тоже одинаковы, а сумма площадей граней $ABD$ и $ACD$ равна $S$. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
Ответ:
Решение:
Первооткрыватель летел над джунглями на вертолёте и заметил забытый храм инков. Храм выстроен в форме правильной усечённой пирамиды с квадратными основаниями — сторона нижнего основания равна 2048 и. е., сторона верхней площадки равна 486 и. е. (и. е. — инкские единицы длины). Высоту храма путешественник измерить не сумел, поэтому посадил вертолёт на верхней площадке и начал спускаться по боковой поверхности пирамиды, начиная от угла. Спускался он не напрямую — склон для этого слишком крут — а наискосок, по линии, угол наклона которой к поверхности земли равен $45^\circ$. Когда он добирался до бокового ребра, он переходил через ребро и шёл по следующей грани, под таким же углом $45^\circ$ к поверхности земли. Он закончил спуск ровно у вершины нижнего основания пирамиды, насчитав по пути 5 сторон (иными словами, его путь выглядит как ломаная, и в этой ломаной получилось 5 отрезков). Какой высоты (в и. е.) был храм?
Ответ:
Решение:
Треугольная пирамидка, все рёбра которой имеют длину 6 см, стоит на плоском столе. Пирамидку перекатывают по столу через рёбра 6 раз таким образом, что одна из её вершин всё время остаётся неподвижной, при этом два раза подряд через одно и то же ребро пирамидку не перекатывают. Найдите длину траектории, по которой за время этих перекатываний перемещается подвижная вершина пирамиды.
Ответ:
Решение: