Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 306
В каком отношении $CE:CD$ точка $E$ делит сторону $CD$ основания правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, боковое ребро которой наклонено к основанию под углом $30^\circ$, если известно, что площадь треугольника $SBE$ минимально возможная?
Ответ:
Решение:
Через четыре точки $A$, $B$, $C$, $D$, попарные расстояния между которыми равны $\sqrt{15}$, проведена сфера $S$. Через точки $E$ и $F$, расположенные на ребрах $AB$ и $CD$ пирамиды $ABCD$ соответственно, проведена прямая, пересекающая сферу в точках $M$ и $N$, ($E\in[M,F]$). Известно, что точки $E$ и $F$ делят хорду $MN$ в отношении $ME:EF:FN=1:2:3$. Найти длину отрезка $ME$.
Ответ:
Решение:
Вычислить значение $\cos^2 2x$ для всех допустимых значений $x$, если \[ \mathrm{tg}^4x-4\,\mathrm{tg}^2x+1=0. \]
Ответ:
Решение:
Саша ехал в автобусе по улице и увидел через окно своего друга Колю, идущего по другой стороне улицы в противоположном направлении. Через две минуты автобус остановился на остановке. Саша быстро вышел из автобуса, перебежал улицу и побежал догонять Колю. Через сколько минут он догонит Колю, если он бежит в три раза быстрее, чем идет Коля и в пять раз медленнее, чем едет автобус? Время выхода из автобуса и перехода улицы не учитывать.
Ответ:
Решение:
Петя сбежал по эскалатору метро, двигающемуся вниз, от верха до низа, развернулся и побежал в обратном направлении. Добежав до верха, измерил затраченное время. В этот момент эскалатор был переключен на движение в обратном направлении. Петя решил повторить эксперимент: пробежать по эскалатору туда и обратно и измерить затраченное время. Какое из времен оказалось большим и во сколько раз, если скорость движения Пети относительно лестницы при подъеме в $1{,}5$ раза больше скорости движения лестницы, а скорость на спуске — в $2$ раза больше скорости движения лестницы?
Ответ:
Решение:
Петя и Вова хотят переправиться на другой берег реки шириной $200$ (м). У них есть маленькая резиновая лодка, в которой может плыть только один человек со скоростью $40$ (м/мин). Начали переправу одновременно: Петя на лодке, Вова — вплавь. В какой-то момент времени Петя покинул лодку и поплыл дальше самостоятельно, а Вова, догнав лодку, завершил переправу на ней. Петя плавает со скоростью $20$, Вова — $30$ (м/мин). Какое расстояние должен проплыть на лодке Петя, чтобы время совместной переправы оказалось минимальным? (Время перехода в лодку и течение реки не учитывать.)
Ответ:
Решение:
Трасса для автомобильных гонок содержит три участка: шоссейный, грунтовый и грязевой. Скорость движения двух автомобилей, участвующих в гонке, на каждом участке трассы одинаковая, равная $160$, $60$ и $20$ км/час соответственно. Отчет времени пошел в тот момент, когда красный автомобиль находился на шоссе в $400$ м впереди белого автомобиля, а он в этот момент пересекал линию старта в начале шоссейного участка. Найти расстояние между автомобилями в моменты времени, когда оба они находились на грунтовом участке трассы. Найти расстояние между автомобилями в момент, когда они оба находились на грязевом участке трассы.
Ответ:
Решение:
На стадионе имеются две беговые дорожки. Каждая из них является границей квадрата со сторонами $400$ м и $600$ м соответственно. Квадраты имеют общую вершину $A$ и две стороны меньшего квадрата лежат на сторонах большего квадрата. Два друга Петя и Коля решили пробежаться, но выбрали для этого разные дорожки. Стартовали одновременно из точки $A$ и бежали $2$ часа в одном направлении с одинаковой скоростью $100$ м/мин. Сколько метров дистанции ребята бежали рядом друг с другом?
Ответ:
Решение:
В бассейне, на соседних дорожках тренируются два пловца Петя и Костя. Петя проплывает дорожку 50 м за две минуты, Костя — за три. Вначале тренировки оба находились на линии старта у края дорожки, спустя 60 мин тренировка закончилась. Сколько раз за это время, включая начало, они находились на одинаковом расстоянии от линии старта?
Ответ:
Решение:
Петя пришел на остановку автобуса, едущего до школы с остановками равноотстоящими друг от друга, и, не увидев автобуса на дороге, решил пробежаться и сесть в автобус на следующих остановках по пути в школу. Бежал Петя так, что в любой момент времени мог заметить появление автобуса на дороге за своей спиной. Увидев автобус, Петя может повернуть назад или сохранить направление движения. Известно, что скорость движения автобуса в $4$ раза превосходит скорость бега Пети, а увидеть автобус он может на расстоянии не более $1$ км. Найти наибольшее значение расстояния между остановками, при котором независимо от того, повернет Петя назад при обнаружении автобуса или нет, он сможет сесть в автобус на остановке. (Время нахождения автобуса на остановке не учитывать.)
Ответ:
Решение:
Компания друзей совершала пробежку по прямолинейному участку шоссе: мальчики бежали в одном направлении, девочки — в противоположном. Через $t_1$ мин после того, как Паша обогнал Ваню, он поравнялся с Таней, а затем через $t_2$ мин оказался рядом с бегущей Машей. Спустя еще $t_3$ мин Маша повстречалась с Ваней. Наконец, еще $t_4$ мин понадобилось ей чтобы догнать Таню. Известно, что $t_1:t_2=1:2$ и $t_3:t_4=1:1$.
Сколько времени было на часах, когда Ваня поравнялся с Таней, если известно, что Паша догнал Ваню в $12$ часов дня, Маша была в одной точке шоссе с Ваней в момент, когда часы показывали $14$ часов, а скорость бега всех участников была постоянной и различной для каждого?
Сколько времени было на часах, когда Ваня поравнялся с Таней, если известно, что Паша догнал Ваню в $12$ часов дня, Маша была в одной точке шоссе с Ваней в момент, когда часы показывали $14$ часов, а скорость бега всех участников была постоянной и различной для каждого?
Ответ:
Решение:
Бригаду, состоящую из 4 землекопов, подрядили копать яму под фундамент жилого дома, но выдали только одну лопату. Чтобы все могли заработать, договорились копать по очереди: каждый член бригады работает столько времени, сколько копали бы $1/4$ часть ямы все остальные землекопы одновременно, при наличии у всех лопат. Работа на этих условиях была выполнена полностью. Во сколько раз работа могла быть выполнена быстрее, если изначально каждому дали по лопате?
Ответ:
Решение:
Вода на садовые участки подается из водонапорной башни, которая в начале сезона заполняется водой с помощью насоса, производительность которого за сутки постоянная. Суточное потребление воды на каждом участке, где живут садоводы, одинаковое. Известно, что
- если воду потребляют $109$ участков, то она заканчивается через $2$ дня.
- В случае, если вода подается только на $35$ участков, ее хватает на $6$ дней.
Ответ:
Решение:
Функция $t(x)$ определена на всей числовой оси так, что $t(x)=0$ для всех $x\leqslant0$ и $t(x)=1$ для $x\gt 0$. Решить уравнение $\sin2x=0{,}5\cdot t\left(x-\frac{\pi}{2}\right)-1{,}5\cdot t(x-\pi)+t(x-2\pi)$.
Ответ:
Решение:
Найти $x$, при котором выражение $\left(\sin^2 x-\cos x-1/4\right)^2+(\cos 2x+\cos x)^2$ принимает наименьшее значение.
Ответ:
Решение:
Найти все $x$, для которых \[ \sin a_n x+\sin a_{n+1}x+\sin a_{n+2}x=0 \] при всех $n$, где $a_n$ — арифметическая прогрессия с разностью $d=\pi/10$ и первым членом $a_1=\pi/2$.
Ответ:
Решение:
Решить уравнение \[ f(x)=\sqrt3\cdot g(x), \] для $f(x)=\sin x+\sin3x+\sin5x+\ldots+\sin2021x$ и $g(x)=\cos x+\cos3x+\cos5x+\ldots+\cos2021x$.
Ответ:
Решение:
Решить уравнение $\sin\left(x(\eta(x)-\eta(x-7\pi))\right)=1+\cos x$, где $\eta(x)=\begin{cases}1, & x\geqslant 0\\ 0, & x\lt 0\end{cases}$
Ответ:
Решение:
Найти наименьшую длину отрезка числовой оси, содержащего три различных решения уравнения \[ \cos 2x-\sin 2x-\operatorname{ctg}2x\cdot\sin x+\sin x=0. \]
Ответ:
Решение: