Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 385
Из натуральных чисел от 1 до 25 Даша выбрала шесть таких, что разность любых двух выбранных чисел кратна 4. Какое наибольшее количество простых чисел могла выбрать Даша?
Ответ:
Решение:
Натуральное число, большее 1000000, даёт одинаковые остатки при делении на 40 и на 125. Какая цифра может стоять у этого числа в разряде сотен?
Ответ:
Решение:
Сумма остатков от деления трёх последовательных натуральных чисел на 2022 — простое число. Докажите, что одно из чисел делится на 2022.
Ответ:
Решение:
У натурального числа стерли две последние цифры и полученное число прибавили к исходному. Могло ли в сумме получиться число $101^{50}-1$?
Ответ:
Решение:
Вася хочет несколько раз выписать в строчку число 12345 так, чтобы получившееся многозначное число делилось на 41. Какое наименьшее число раз ему нужно это сделать?
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $n$. $n$-Операция состоит в прибавлении к натуральному числу его остатка от деления на $n$. При каких натуральных $n$, больших 1, из каждого натурального числа за несколько $n$-операций получается число, кратное $n$?
Ответ:
Решение:
По кругу расставлены 100 натуральных чисел. Каждое из них разделили с остатком на следующее по часовой стрелке. Могло ли получиться 100 одинаковых ненулевых остатков?
Ответ:
Решение:
На экране компьютера горит число, а на пульте компьютера есть две кнопки. Нажатие на одну из кнопок переводит число $n$, написанное на экране, в $2n-1$, а на другую — в $2n+1$. Пока оператор отсутствовал, хулиган Вася подкрался к пульту и произвёл сто несанкционированных нажатий на кнопки. Докажите, что по числу, которое теперь горит на экране, оператор (знающий, сколько раз Вася нажимал на кнопки и какое число было на экране до прихода Васи) сможет определить, в каком порядке Вася нажимал на кнопки, если число, горевшее вначале на экране:
1. целое;
2. произвольное.
1. целое;
2. произвольное.
Ответ:
Решение:
Остаток от деления натурального числа $n$ на 2021 на 800 больше, чем остаток от деления числа $n$ на 2020. Найдите наименьшее такое $n$.
Ответ:
Решение:
Некоторое натуральное число $a$ разделили с остатком на числа 1, 2, 3, $\ldots$, 1000. Могло ли так случиться, что среди остатков ровно по 10 раз встретятся числа 0, 1, 2, 3, $\ldots$, 99?
Ответ:
Решение:
Натуральные числа $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_k$ ($k\lt 2020$) удовлетворяют такому условию: для любого из них можно выбрать из остальных чисел одно или несколько так, чтобы сумма их 1024-х степеней делилась на его 1024-ю степень. Докажите, что среди этих чисел есть два равных.
Ответ:
Решение:
Петя и Вася написали на доске по 100 различных натуральных чисел. Петя поделил все свои числа на Васины с остатком и выписал все 10000 получившихся остатков себе в тетрадь. Вася поделил все свои числа на Петины с остатком и выписал все 10000 получившихся остатков себе в тетрадь. Оказалось, что наборы выписанных Васей и Петей остатков совпадают. Докажите, что тогда и наборы их исходных чисел совпадают.
Ответ:
Решение:
Какие натуральные числа можно представить в виде \[ a^2+2023b^2-2024c^2, \] где $a,b,c$ — различные целые числа?
Ответ:
Решение:
Среди всех остатков, которые дают степени 2 при делении на нечётное число $m$, большее 1, оказалось ровно $k$ чисел, больших $\dfrac{m}{2}$. Пусть натуральное число $n$ таково, что $2^n-1$ делится на $m$. Докажите, что если число $\dfrac{2^n-1}{m}$ представлено в виде суммы различных целочисленных степеней двойки, то количество слагаемых в такой сумме делится на $k$.
Ответ:
Решение:
Кощей Бессмертный открыл счет в банке «Спёрбанк». Изначально на счете было 0 рублей. В первый день Кощей кладёт на счёт $k$ ($k\gt 0$) рублей, а каждый следующий день добавляет туда на один рубль больше, чем накануне (на второй день он добавляет $k+1$ рублей, на третий — $k+2$ рубля и т. д.) Каждый раз сразу после того, как Кощей вносит деньги на счёт, общая величина счёта уменьшается банком в два раза. Найдите все такие $k$, при которых сумма на счёте всегда будет выражаться целым числом рублей.
Ответ:
Решение:
Натуральное число заканчивается на ноль, а наибольший из его делителей, не равных ему самому, является степенью простого числа. Найдите предпоследнюю цифру этого числа.
Ответ:
Решение:
Напомним, что факториалом $n!$ натурального числа $n$ называется произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно (например, $1!=1$, а $5!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5$). Можно ли из чисел $1!, 2!, \ldots, 99!, 100!$ вычеркнуть одно так, чтобы произведение оставшихся оказалось кубом натурального числа?
Ответ:
Решение:
Сумму цифр шестизначного числа умножили на произведение его цифр. Получилось 390. Найдите хотя бы одно такое шестизначное число.
Ответ:
Решение:
Натуральные числа $n$ ($n\gt 1$) и $k$ таковы, что для любого натурального делителя $d$ числа $n$ хотя бы одно из чисел\[d+k\quad\text{и}\quad d-k\]также является натуральным делителем числа $n$. Докажите, что число $n$ — простое.
Ответ:
Решение:
Первоначально имеется один кусок сыра. Разрешается взять любой кусок сыра и проделать с ним одну из трех операций:
- разделить его на два куска одинакового веса,
- разделить его на 11 кусков одинакового веса,
- разделить его на 23 куска одинакового веса.
Ответ:
Решение: