Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 306
Найти среднее арифметическое решений уравнения \[ \sqrt{\sin x-\sin2x+\sin3x}=\sqrt{\sin x}-\sqrt{\sin2x}+\sqrt{\sin3x} \] на отрезке $[0;2\pi]$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найти все тройки чисел $(x;y;z)$, для которых \[ \begin{cases} 5\sin^2 x+\cos^2 x-4\sin x+y^2=0,\\ \cos x+\cos y+\cos z=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Найти все решения $(x;y)$ уравнения $(2\sin(x+y)+3)(\cos(2x-y)-1)=-10$, лежащие на прямой $6x+5y=15\pi$.
Ответ:
Решение:
Найдите все пары чисел $(x;y)$ в прямоугольнике $0\leqslant x\leqslant 2\pi$, $0\leqslant y\leqslant 1$, для которых \[ \left(\cos^4 x+1\right)\left(\cos^4(xy)+1\right)=4\cos^2 x\cos^2(xy). \]
Ответ:
Решение:
При каком значении $a$ уравнение $|\sin(2x-y)|+|\cos(x+2y)|+1=\frac{2a}{a^2+1}$ имеет решение? Найти эти решения. Найти минимальное $R$, при котором любой круг радиуса $R$ на плоскости содержит хотя бы одну точку с координатами $(x;y)$ — решениями уравнения.
Ответ:
Решение:
При каких целых $n$ выражение $6\sin\dfrac{5\pi n}{12}+\sin\dfrac{5\pi n}{4}$ принимает наибольшее возможное значение?
Ответ:
Решение:
Целое число $n$ таково, что $\cos\dfrac{(2n^2+n+1)\pi}{2}=1$, а уравнение $\sin x\cdot\sin 5x\cdot\sin nx=1$ имеет решение. Найти все такие $n$.
Ответ:
Решение:
Найти номера $n\geqslant 1$ членов арифметической прогрессии $a_n=\frac{5n+2}{3}$, являющихся решениями уравнения $\sqrt{10}\cos(\pi a_n)=\sqrt{4\cos(\pi a_n)-\cos(2\pi a_n)}$.
Ответ:
Решение:
При каких целых положительных $n$ уравнение $\sin x\cdot\sin 2x\cdot\sin 3x\cdot\ldots\cdot\sin nx=0$ имеет не менее десяти решений на отрезке $[0;\pi/4]$?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Бассейн имеет форму прямоугольного параллелепипеда, наполнен водой и его глубина равна $h$. В процессе слива воды из бассейна его глубина изменялась по закону \[ h(t)=at^2+bt+c \] при некоторых константах $a$, $b$ и $c$. Начало слива соответствует моменту $t=0$, его завершение — моменту времени $t=T$ при этом $h(T)=0$. Известно, что $h'(T)=0$ и через час после начала слива объем воды в бассейне уменьшился на $36\%$. Найти $T$ — время, за которое вода в бассейне полностью сливается.
Ответ:
Решение:
Отрезок $[2;29]$ числовой оси разбит двумя точками $a$ и $b$ на три отрезка, длины которых $x$, $y$ и $z$ соответственно. Найти наибольшее возможное значение выражения $\log_3 x+\log_3 y+\log_3 z$.
Ответ:
Решение:
Найти наибольшее значение выражения $x-2y$ для $(x;y)$, удовлетворяющих уравнению $4x^2+9y^2=25$.
Ответ:
Решение:
Точки $A$ и $B$ — основания перпендикуляров, опущенных из точек $C$ и $D$ на прямую $AB$. Длины отрезков $CA$, $DB$ и $AB$ равны $1$, $3$ и $3$ соответственно. На отрезке $AB$ взята точка $M$ так, что длина отрезка $AM$ равна $x$. Найти наименьшее возможное значение выражения \[ \sqrt{1+x^2}+\sqrt{9+(3-x)^2}. \]
Ответ:
Решение:
Найти наибольшее значение выражения $|x|+|y|+|z|$ для троек $(x;y;z)$, удовлетворяющих системе \[ \begin{cases} \sin x\cdot\sin(x+y)\cdot\sin(x+y+z)=0,\\ x^2+y^2+z^2=\dfrac{\pi^2}{3}. \end{cases} \] Найти тройки $(x;y;z)$, для которых наибольшее значение достигается.
Ответ:
Решение:
Найти наибольшее значение выражения $\sin x+\sin y+\sin z$, если $x$, $y$ и $z$ — неотрицательные числа, для которых $x+y+z=\dfrac{3\pi}{4}$.
Ответ:
Решение: