Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1597
Можно ли в некоторые клетки таблицы $8\times8$ написать единицы, а в остальные — нули, так, чтобы во всех столбцах была разная сумма, а во всех строчках — одинаковая?
Ответ:
Решение:
У короля есть 10 мудрецов. Однажды он выдал первому мудрецу одну золотую монету, второму — две монеты, третьему — три, …, десятому — десять. Затем он сказал, что каждую минуту мудрецы могут попросить его выдать девяти из них по одной золотой монете. Если в какой-то момент у всех мудрецов монет будет поровну, то они могут их забрать. Смогут ли мудрецы забрать золото?
Ответ:
Решение:
Можно ли из всех прямоугольников размерами $1\times1$, $1\times3$, $1\times5$, $\ldots$, $1\times2019$, взятых по одному разу, сложить прямоугольник, каждая сторона которого больше 1?
Ответ:
Решение:
Серёжа расставил в кружочках числа от 1 до 8 так, что каждое из чисел, кроме одного, использовано ровно по одному разу. Оказалось, что суммы чисел на каждой из пяти линий равны. Какое число Серёжа не использовал?
Ответ:
Решение:
Расположите на плоскости точки $A$, $B$, $C$, $D$ и $E$ так, чтобы можно было указать ровно восемь треугольников с вершинами в отмеченных точках. Перечислите эти треугольники.
Ответ:
Решение:
В ряд выписано 11 чисел так, что сумма любых трёх идущих подряд чисел равна 18. При этом сумма всех чисел равна 64. Найдите центральное число.
Ответ:
Решение:
Магический квадрат — это таблица $3\times3$, в которой расставлены числа так, что суммы по всем строкам, столбцам и двум главным диагоналям одинаковы. На рисунке изображён магический квадрат, в котором все числа, кроме трёх, стёрты. Найдите, чему равно число в левом верхнем углу квадрата.
| ? | 31 | 9 |
| 13 | ||
Ответ:
Решение:
В 10 кружков на картинке расставили целые числа от 0 до 9, каждое по разу. Между некоторыми парами из них нарисовали стрелку или отрезок, руководствуясь следующими правилами:
- Если числа отличаются хотя бы на 2, то от меньшего числа нарисовали стрелку к большему;
- Если числа отличаются на 1, то между ними нарисовали отрезок.
Ответ:
Решение:
В квадрате $5\times5$ расставили натуральные числа от 1 до 25, каждое по одному разу, так, что суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и каждой из двух диагоналей совпали.
Оказалось, что в центре стоит число 18. Чему может быть равна сумма чисел в отмеченных клетках?
Оказалось, что в центре стоит число 18. Чему может быть равна сумма чисел в отмеченных клетках?
Ответ:
Решение:
Можно ли в кружках (см. рисунок) разместить различные натуральные числа таким образом, чтобы суммы трёх чисел вдоль каждого отрезка оказались равными?
Ответ:
Решение:
Из клетчатой бумаги вырезана прямоугольная рамка (см. рисунок). Её разрезали по границам клеток на девять частей и сложили из них квадрат $6\times6$. Могли ли все части, полученные при разрезании, оказаться различными? (При складывании квадрата части можно переворачивать.)
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Если на доске записано число $A$, то к нему можно прибавить любой его делитель, отличный от 1 и самого $A$. Можно ли из $A=4$ получить 1234321?
Ответ:
Решение:
На координатной прямой отмечено несколько точек (больше двух). Каждая точка, кроме двух крайних, находится ровно посередине между какими-то двумя отмеченными. Могут ли все отрезки, внутри которых нет отмеченных точек, иметь различные длины?
Ответ:
Решение:
В трёх клетках таблицы $3\times3$ стоят числа (см. рисунок). Требуется заполнить числами остальные клетки так, чтобы во всех строках, столбцах и главных диагоналях суммы чисел оказались равными. Докажите, что это можно сделать единственным способом, и заполните таблицу.
| 1 | 5 | |
| 3 |
Ответ:
Решение:
Незнайка измерил длины сторон и диагоналей своего четырёхугольного земельного участка, записал в блокнот результаты шести измерений и тут же забыл, какие числа относились к диагоналям, а какие — к сторонам. Потом он заметил, что среди написанных чисел есть четыре одинаковых, а два оставшихся числа тоже равны между собой. Незнайка обрадовался и сделал вывод, что его участок — квадрат. Обязательно ли это так? Если ответ «да», то утверждение нужно доказать, если ответ «нет» — привести опровергающий пример и его обосновать.
Ответ:
Решение:
Разбейте какой-нибудь клетчатый квадрат на клетчатые квадратики так, чтобы не все квадратики были одинаковы, но квадратиков каждого размера было одно и то же количество.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости построены четыре прямые, уравнения которых имеют вид $y=kx+b$. Все коэффициенты и свободные члены — различные натуральные числа от 1 до 8. Могут ли эти 4 прямые разделить плоскость ровно на 8 частей?
Ответ:
Решение:
Нарисуйте шесть лучей так, чтобы они пересекались ровно в четырех точках, по три луча в каждой точке. Отметьте начала лучей жирными точками.
Ответ:
Решение: