Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 198
Пусть $x$ и $y$ удовлетворяют системе \[ \begin{cases} y-x\leqslant5,\\ y+4x\leqslant-5,\\ 3y+2x\geqslant-5. \end{cases} \] Найдите все значения, которые может принимать функция $x^2+y^2$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения, которые может принимать выражение\[3\arcsin x-2\arccos y\]при условии $x^2+y^2=1$.
Ответ:
Решение:
Посылка должна быть упакована в ящик в форме прямоугольного параллелепипеда и перевязана один раз вдоль и два раза поперёк (см. рисунок). Можно ли отправить посылку объёма $63$ дм$^3$, имея $4{,}32$ м верёвки (толщиной стенок ящика и уходящей на узлы верёвкой пренебречь)?
Ответ:
Решение:
Наименьшее значение функции\[\sqrt{x_1^2+1^2}+\sqrt{x_2^2+2^2}+\sqrt{x_3^2+3^2}+\ldots+\sqrt{x_{2023}^2+2023^2}\]для неотрицательных $x_1, x_2, \ldots, x_{2023}$, сумма которых равна $k$, равно $2023\cdot 2024$. При каком значении параметра $k$ такое возможно?
Ответ:
Решение:
На окружности через равные промежутки отметили $400$ точек и провели все возможные хорды между ними. Хорду с концами в отмеченных точках назовем «чётной», если на большей дуге, которую она стягивает, лежит чётное число точек. В противном случае хорда «нечётная». Рядом с каждой вершиной написано число. Сумма квадратов этих чисел равна $100$. На каждой хорде написано произведение чисел, стоящих на её концах. Сумма чисел на «чётных» хордах равна $a$, сумма чисел на «нечётных» хордах равна $b$. Найдите наибольшее возможное значение величины $a-b$.
Ответ:
Решение:
Решите уравнение\[\left[\frac{3x^2+8}{2}\right]=\frac{15x^2-7}{5},\]где через $[c]$ обозначена целая часть действительного числа $c$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $c$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений\[\begin{cases}x_1^{10}+x_2^{10}+\ldots+x_{92}^{10}=3^{10}\\x_1^{33}+x_2^{33}+\ldots+x_{92}^{33}=3^{33}.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений\[\begin{cases}\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{9}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}=9,\\4x^2+y^2+z^2=4,\\3\sqrt{3}x+y+\sqrt{3}z=3.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
На доске написано число $27$. Каждую минуту число стирают с доски и записывают на его место произведение его цифр, увеличенное на $12$. Например, через минуту на доске будет написано число $2\cdot7+12=26$. А что окажется на доске через час?
Ответ:
Решение:
Четырёхзначное число $X$ не кратно $10$. Сумма числа $X$ и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, равна $N$. Оказалось, что число $N$ делится на $100$. Найдите $N$.
Ответ:
Решение:
В десятичной записи чётного числа $M$ участвуют только цифры $0$, $2$, $4$, $5$, $7$ и $9$, цифры могут повторяться. Известно, что сумма цифр числа $2M$ равняется $35$, а сумма цифр числа $M/2$ равняется $29$. Какие значения может принимать сумма цифр числа $M$? Укажите все возможные ответы.
Ответ:
Решение:
Десятичная запись натурального числа $n$ содержит шестьдесят три цифры. Среди этих цифр есть двойки, тройки и четвёрки. Других цифр нет. Число двоек на $22$ больше числа четвёрок. Найти остаток от деления $n$ на $9$.
Ответ:
Решение:
Натуральное $59$-значное число $A$ записывается только цифрами $3$, $4$ и $5$. При этом пятёрок на $8$ больше, чем троек. Найдите остаток от деления числа $A$ на $9$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение: