Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1597
В городе Буквинске люди знакомы, только если в их именах есть одинаковые буквы, а иначе — нет. У нескольких жителей Буквинска спросили, сколько у них знакомых в городе. Мартин сказал, что 20, Клим — 15, Инна — 12, Тамара — 12. Что ответила Камилла?
Ответ:
Решение:
Девять посёлков соединены восемью дорогами $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$, как показано на рисунке. Длины дорог равны 1, 2, 3, …, 8 км в некотором порядке. Для каждого посёлка нашли длину кратчайшего пути до каждого другого по дорогам, и все такие длины сложили.
1. Известно, что полученная сумма — наибольшая из возможных. Какая из дорог может иметь длину 8 км? Укажите все возможные варианты.
2. Сколько существует способов присвоить дорогам их длины от 1 до 8 км так, чтобы полученная сумма оказалась наибольшей из возможных?
1. Известно, что полученная сумма — наибольшая из возможных. Какая из дорог может иметь длину 8 км? Укажите все возможные варианты.
2. Сколько существует способов присвоить дорогам их длины от 1 до 8 км так, чтобы полученная сумма оказалась наибольшей из возможных?
Ответ:
Решение:
На окружности отмечено 16 точек, которые делят окружность на 16 равных дуг. Петя расставил в этих точках (в некотором порядке) 16 последовательных натуральных чисел. Далее для каждой пары диаметрально противоположных точек Петя вычислил сумму чисел в этих точках. Могло ли оказаться, что полученные 8 сумм представляют собой 8 последовательных натуральных чисел?
Ответ:
Решение:
Карточки с натуральными числами от 1 до 20 разбили на 2 группы по 10 карточек. Назовём пару чисел $n\lt m$ хорошей, если карточка с числом $n$ лежит в первой группе, а с числом $m$ — во второй. Оказалось, что хороших пар ровно 37. Чему может быть равна сумма чисел на карточках в первой группе? Укажите все возможные варианты ответа.
Ответ:
Решение:
Бригада рабочих делает ремонт в квартире. Чтобы не испортить пол в комнате (клетчатый квадрат размером $4\times4$), они расстелили 13 двухклеточных ковриков по линиям сетки. Внезапно оказалось, что один коврик понадобился в другой комнате. Докажите, что рабочие смогут его выбрать так, чтобы ремонт в квартире можно было продолжать, не испортив пол.
Ответ:
Решение:
У Даши и Саши есть по доске $9\times9$. Даша укладывает на свою доску 40 не перекрывающихся плиток $1\times2$ (так, что плитки занимают 80 клеток, а одна клетка остается не покрытой). Пусть у неё есть $D$ способов сделать это. Саша красит на своей доске 41 единичных отрезков-границ между соседними клетками, так, чтобы для каждой клетки доски хотя бы одна её сторона была покрашена. Пусть у Саши $S$ способов сделать это. Докажите, что $S\leqslant 2D$.
Ответ:
Решение:
По кругу стоят $n$ мальчиков и $n$ девочек. Назовём пару из мальчика и девочки хорошей, если на одной из дуг между ними стоит поровну мальчиков и девочек (в частности, стоящие рядом мальчик и девочка образуют хорошую пару). Оказалось, что есть девочка, которая участвует ровно в 10 хороших парах. Докажите, что есть и мальчик, который участвует ровно в 10 хороших парах.
Ответ:
Решение:
Каждая клетка доски $100\times100$ окрашена либо в чёрный, либо в белый цвет, причём все клетки, примыкающие к границе доски — чёрные. Оказалось, что нигде на доске нет одноцветного клетчатого квадрата $2\times2$. Докажите, что на доске найдётся клетчатый квадрат $2\times2$, клетки которого окрашены в шахматном порядке.
Ответ:
Решение:
Сто гномов, веса которых равны 1, 2, 3, $\ldots$, 100 фунтов, собрались на левом берегу реки. Плавать они не умеют, но на этом же берегу находится гребная лодка грузоподъёмностью 100 фунтов. Из-за течения плыть обратно трудно, поэтому у каждого гнома хватит сил грести с правого берега на левый не более одного раза (грести в лодке достаточно любому из гномов; гребец в течение одного рейса не меняется). Могут ли все гномы переправиться на правый берег?
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $n\gt 5$. На кольцевой полоске бумаги написана последовательность из нулей и единиц. Для каждой последовательности $w$ из $n$ нулей и единиц посчитали количество способов вырезать из полоски фрагмент, на котором написана $w$. Оказалось, что наибольшее количество $M$ достигается на последовательности $11\underbrace{00\ldots0}_{n-2}$, а наименьшее (возможно, нулевое) — на последовательности $\underbrace{00\ldots0}_{n-2}11$. Докажите, что есть и другая последовательность из $n$ нулей и единиц, встречающаяся ровно $M$ раз.
Ответ:
Решение:
Куб $100\times100\times100$ разбит на миллион единичных кубиков; в каждом кубике расположена лампочка. Три грани большого куба, имеющие общую вершину, окрашены: одна красным, другая синим, а третья зеленым. Назовем столбцом набор из 100 кубиков, образующих блок $1\times1\times100$. У каждого из 30 000 столбцов есть одна окрашенная торцевая клетка; в этой клетке стоит переключатель — нажатие на этот переключатель меняет состояние всех 100 лампочек в столбце (выключенная лампочка включается, а включенная выключается). Изначально все лампочки были выключены. Петя нажал на несколько переключателей, получив ситуацию, в которой ровно $k$ лампочек горят. Докажите, что после этого Вася может нажать на несколько переключателей так, чтобы ни одна лампочка не горела, использовав не более $k/100$ переключателей с красной грани.
Ответ:
Решение:
Пусть даны натуральные числа $x_1$ и $x_2$. На прямой даны $y_1$ белых отрезков и $y_2$ чёрных отрезков, при этом $y_1\geqslant x_1$ и $y_2\geqslant x_2$. Известно, что никакие два отрезка одного цвета не пересекаются (даже не имеют общих концов). Также известно, что при любом выборе $x_1$ белых отрезков и $x_2$ чёрных отрезков обязательно какая-то пара выбранных отрезков будет пересекаться. Докажите, что \[(y_1-x_1)(y_2-x_2)\lt x_1x_2.\]
Ответ:
Решение:
В ряд выписаны по одному разу все натуральные числа от 1 до 1000 в каком-то порядке. Докажите, что можно выбрать несколько стоящих подряд выписанных чисел, сумма которых больше 100000, но не превосходит 100500.
Ответ:
Решение:
Саша выбрал 199 многочленов с вещественными коэффициентами так, что сумма любых ста из них имеет вещественный корень. Докажите, что сумма каких-то девяти из них также имеет вещественный корень.
Ответ:
Решение:
Впишите в каждый квадратик одну и ту же цифру, чтобы получилось верное равенство: \[\square+\square+\square+\square=\square\times\square\]
Ответ:
Решение:
В примере на сложение \[\square+\triangle+\square=\square\square\] впишите одну и ту же цифру в каждый квадратик и другую цифру в треугольник так, чтобы пример получился верным.
Ответ:
Решение:
Замените звёздочки цифрами так, чтобы равенство стало верным и все семь цифр были различными: \[\ast\ast+\ast\ast=175.\]
Ответ:
Решение:
Замените звёздочки цифрами так, чтобы равенство стало верным и все семь цифр были различными: $\ast\ast\ast-\ast\ast=23$.
Ответ:
Решение:
На доске в ряд выписаны цифры \[1\quad 1\quad 1\quad 2\quad 2\quad 2\quad 5\quad 5\quad 5.\] Между ними можно расставить несколько плюсов, чтобы получившийся результат заканчивался на цифру один: \[1+1+12+2+25+5+5=51.\] А как можно расставить несколько плюсов, чтобы получившийся результат заканчивался на ноль? Достаточно привести пример.
Ответ:
Решение: