Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1597
Петя и Вася плавают в бассейне размера 10 м $\times$ 17 м. Известно, что кратчайшее расстояние от Пети до края бассейна равно 2 метра, а кратчайшее расстояние от Васи до края — 3 метра. Какое максимальное расстояние может быть между Петей и Васей?
Ответ:
Решение:
Первоклассник составил из шести палочек два треугольника. Затем он разобрал треугольники обратно и разбил шесть палочек на две группы по три палочки: в первой группе оказались три самых длинных палочки, а во второй — три самых коротких. Обязательно ли можно составить треугольник из трех палочек первой группы? А из трех палочек второй группы?
Ответ:
Решение:
Точка $M$ — середина стороны $BC$ треугольника $ABC$, в котором $AB=17$, $AC=30$, $BC=19$. На стороне $AB$ как на диаметре построена окружность. На этой окружности выбирается произвольная точка $X$. Какое минимальное значение может принимать длина отрезка $MX$?
Ответ:
Решение:
Ослик Иа-Иа составил из шести палочек два треугольника. Затем он разобрал треугольники обратно и покрасил шесть палочек в два цвета: три самых коротких — в жёлтый цвет, а три остальных — в зелёный. Обязательно ли ослику удастся составить два треугольника, один — из трёх жёлтых палочек, а другой — из трёх зелёных?
Ответ:
Решение:
Вася разобрал каркас треугольной пирамиды в кабинете математики и хочет из её шести рёбер составить два треугольника так, чтобы каждое ребро являлось стороной ровно одного треугольника. Всегда ли Вася сможет это сделать?
Ответ:
Решение:
Вдоль трассы стоят 60 дорожных знаков. На каждом из них написана сумма расстояний до оставшихся 59 знаков. Возможно ли такое, что на знаках написаны 60 различных натуральных чисел? (Расстояния между знаками не обязательно целые.)
Ответ:
Решение:
Радиусы пяти концентрических окружностей $\omega_0$, $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$, $\omega_4$ образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию со знаменателем $q$. При каком наибольшем $q$ можно нарисовать незамкнутую ломаную $A_0A_1A_2A_3A_4$, состоящую из четырёх отрезков равной длины, в которой $A_i$ лежит на $\omega_i$ при всех $i=0$, 1, 2, 3, 4?
Ответ:
Решение:
Назовем два числа почти равными, если они равны или отличаются друг от друга не более, чем на единицу. Верно ли, что из любого прямоугольника с натуральными сторонами можно вырезать какой-нибудь прямоугольник с натуральными сторонами, площадь которого почти равна половине площади исходного прямоугольника? Стороны вырезаемого прямоугольника не обязательно параллельны сторонам исходного прямоугольника.
Ответ:
Решение:
Периметр выпуклого пятиугольника $ABCDE$ равен 2. Пусть $O_a$, $O_b$, $O_c$, $O_d$, $O_e$ — центры описанных окружностей треугольников $EAB$, $ABC$, $BCD$, $CDE$, $DEA$ соответственно. Пусть $M_a$, $M_b$, $M_c$, $M_d$, $M_e$ — середины отрезков $AO_a$, $BO_b$, $CO_c$, $DO_d$, $EO_e$ соответственно. Докажите, что \[ M_aM_b+M_bM_c+M_cM_d+M_dM_e+M_eM_a\geqslant 1. \]
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$, в котором $\angle A=\angle C=30^\circ$. На его сторонах $AB$, $BC$ и $AC$ выбраны точки $D$, $E$ и $F$ соответственно так, что $\angle BFD=\angle BFE=60^\circ$. Периметр треугольника $ABC$ равен $p$, а периметр треугольника $DEF$ равен $p_1$. Докажите, что $p\leqslant 2p_1$.
Ответ:
Решение:
На прямой отмечено $n+1$ различных отрезков; одна из точек прямой принадлежит всем этим отрезкам. Докажите, что среди отмеченных отрезков можно выбрать различные отрезки $I$ и $J$, пересекающиеся по отрезку длины, не меньшей $\frac{n-1}{n}\,d$, где $d$ — длина отрезка $I$.
Ответ:
Решение:
Точка $X$ лежит строго внутри описанной около треугольника $ABC$ окружности. Обозначим через $I_B$ и $I_C$ центры вневписанных окружностей этого треугольника, касающихся сторон $AC$ и $AB$ соответственно. Докажите, что $XI_B\cdot XI_C\gt XB\cdot XC$.
Ответ:
Решение:
Диагонали выпуклого четырехугольника $ABCD$ перпендикулярны и пересекаются в точке $O$. Центры вписанных окружностей треугольников $ABC$, $BCD$, $CDA$, $DAB$ являются вершинами выпуклого четырехугольника, периметр которого равен $P$. Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей треугольников $AOB$, $BOC$, $COD$, $DOA$ не превосходит $\dfrac{P}{2}$.
Ответ:
Решение:
Высоты $BD$ и $CE$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$, высоты треугольника $ADE$ пересекаются в точке $F$, точка $M$ — середина стороны $BC$. Докажите, что $BH+CH\geqslant 2FM$.
Ответ:
Решение:
В окружность вписана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Известно, что $\angle BAC=28^\circ$ и $\angle ACD=74^\circ$. Сколько градусов составляет $\angle ABC$?
Ответ:
Решение:
В описанном четырехугольнике $ABCD$ оказалось, что $\angle ABC=\angle ACD=90^\circ$. Известно, что $AB=5$, $BC=3$. Найдите, чему равно $CD$.
Ответ:
Решение:
Во вписанном четырёхугольнике $ABCD$ отметили точку $E$ — пересечение лучей $AD$ и $BC$ и точку $F$ — пересечение лучей $AB$ и $DC$. Оказалось, что $CD=DE$, $\angle AEB=51^\circ$ и угловые меры дуг $BC$ и $AD$ находятся в соотношении $2:5$.
1. Найдите угол $AFD$. Ответ выразите в градусах.
2. Найдите величину меньшей дуги $BC$. Ответ выразите в градусах.
1. Найдите угол $AFD$. Ответ выразите в градусах.
2. Найдите величину меньшей дуги $BC$. Ответ выразите в градусах.
Ответ:
Решение:
Дан параллелограмм $ABCD$, точка $M$ — середина стороны $BC$. На стороне $AD$ нашлась точка $K$ такая, что $BK=BM$ и четырёхугольник $KBMD$ является вписанным.
1. Чему равна длина отрезка $MD$, если $AD=17$?
2. Сколько градусов составляет угол $KMD$, если $\angle BAD=46^\circ$?
1. Чему равна длина отрезка $MD$, если $AD=17$?
2. Сколько градусов составляет угол $KMD$, если $\angle BAD=46^\circ$?
Ответ:
Решение:
Четырехугольник $ABCD$ — вписанный. На его диагоналях $AC$ и $BD$ отметили точки $K$ и $L$ соответственно так, что $AK=AB$ и $DL=DC$. Докажите, что прямые $KL$ и $AD$ параллельны.
Ответ:
Решение:
Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, $BC=CD$, $AC=c$, $\angle BAD=2\alpha$. Найдите площадь этого четырёхугольника.
Ответ:
Решение: