Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 198
Можно ли расставить все натуральные числа от $1$ до $2025$ в ряд так, что для любого $k=1,2,\ldots,2025$ сумма первых $k$ чисел в этом ряду нацело делится на $k$-е число в ряду?
Ответ:
Решение:
Найдите все действительные числа $x$ такие, что оба числа $x+\sqrt{3}$ и $x^2+\sqrt{3}$ — рациональные.
Ответ:
Решение:
Дан многочлен $F(x)=1+2x+3x^2+4x^3+\ldots+100x^{99}$. Можно ли, переставив коэффициенты в нём, получить многочлен $G(x)=g_0+g_1x+g_2x^2+g_3x^3+\ldots+g_{99}x^{99}$ такой, что для всех натуральных чисел $k\geqslant 2$ разность $F(k)-G(k)$ не кратна $100$?
Ответ:
Решение:
При каких натуральных $n\gt 1$ найдутся $n$ подряд идущих натуральных чисел, сумма которых равна $2016$?
Ответ:
Решение:
Докажите, что число $2^{2014}+1$ можно представить в виде произведения трёх натуральных чисел, больших $1$.
Ответ:
Решение:
Если из четырёхзначного числа $X$ вычесть сумму его цифр, то получится натуральное число $N=K^2$, причём $K$ — натуральное число, дающее остаток $5$ при делении на $20$ и остаток $3$ при делении на $21$. Найдите число $N$.
Ответ:
Решение:
Про натуральные числа $x$ и $y$ и целое нечётное число $z$ известно, что \[ x!+y!=24z+2017. \] Найдите все возможные такие тройки чисел $(x,y,z)$.
Ответ:
Решение:
Вася хочет найти все целые числа $a$ такие, что выражение $10n^3-3n^5+7an$ делится на $15$ для всех целых $n$. Какие остатки может давать число $a$ при делении на $15$? Укажите все возможные ответы или докажите, что таких целых чисел $a$ нет.
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ уравнение \[ 4^{|x-a|}\log_{\frac13}\left(x^2-2x+4\right)+2^{x^2-2x}\log_{\sqrt{3}}\bigl(2|x-a|+3\bigr)=0 \] имеет ровно три решения?
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ уравнение\[\log_2^2x+(a-6)\log_2x+9-3a=0\]имеет ровно два корня, один из которых в четыре раза больше, чем другой?
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ уравнение\[\log_2\left(2x^2+(2a+1)x-2a\right)-2\log_4\left(x^2+3ax+2a^2\right)=0\]имеет два различных корня, сумма квадратов которых больше $4$?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ уравнение \[ x^3+y^3+x^2y+xy^2=\sqrt{a}(x^2+y^2)+\sqrt{13-a}(x+y)-\sqrt{13a-a^2} \] имеет ровно четыре решения в целых числах?
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ уравнение \[ 3^{x^2-2ax+a^2}=ax^2-2a^2x+a^3+a^2-4a+4 \] имеет ровно одно решение?
Ответ:
Решение:
Укажите все значения параметра $a$, $|a|\lt 1$, при которых множество решений неравенства\[\frac{|\cos t-a|-\sin t}{\left|\cos t-\frac{3}{4}\right|}\gt 0\]для $t\in(0;\pi)$ представимо в виде двух непересекающихся интервалов.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение\[16^{2x}+5\cdot 16^x=a\cdot 16^x+6\]имеет хотя бы один корень на отрезке $\left[\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{2}\right]$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ система \[ \begin{cases} |x|+|y|+\bigl||x|-|y|\bigr|=6,\\ |x|+|y|=a \end{cases} \] имеет наибольшее возможное число решений?
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $\bigl|\ln|x|\bigr|=ax$ имеет три решения.
Ответ:
Решение: