Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1597
В строку выписаны 200 натуральных чисел. Среди любых двух соседних чисел строки правое либо в 9 раз больше левого, либо в 2 раза меньше левого. Может ли сумма всех этих 200 чисел равняться $24^{2022}$?
Ответ:
Решение:
Рассмотрим все 100-значные числа, делящиеся на 19. Докажите, что количество таких чисел, не содержащих цифр 4, 5 и 6, равно количеству таких чисел, не содержащих цифр 1, 4 и 7.
Ответ:
Решение:
Докажите, что существует такое $c\gt 0$, что для любого нечётного простого $p=2k+1$ числа $1^0$, $2^1$, $3^2$, $\ldots$, $k^{k-1}$ дают хотя бы $c\sqrt{p}$ различных остатков при делении на $p$.
Ответ:
Решение:
На доску выписаны 2026 попарно различных натуральных чисел, больших 1. Оказалось, что для любого выписанного числа $a$ найдутся хотя бы $k$ пар выписанных чисел $b\lt c$, для которых $bc-1$ делится на $a-1$. Найдите наибольшее возможное значение $k$.
Ответ:
Решение:
Пусть $n$ — нечётное натуральное число. Дана таблица $n\times n$. Расстоянием между двумя клетками таблицы назовём наименьшее число шагов, за которое можно добраться от одной клетки до другой, переходя каждый раз в соседнюю по стороне клетку (так, расстояние между клетками, соседними по стороне, равно 1). $R$ клеток таблицы окрашены в красный цвет, а другие $B$ клеток — в синий. Известно, что любая прямая, соединяющая центры красной и синей клеток, не параллельна ни одной из диагоналей таблицы. Кроме того, расстояние между любыми красной и синей клетками не равно $n$. Докажите, что $\sqrt{R}+\sqrt{B}\leqslant n$.
Ответ:
Решение:
У многочлена $P(x)$ все коэффициенты — целые неотрицательные числа. Известно, что $P(1)=4$ и $P(5)=152$. Чему равно $P(11)$?
Ответ:
Решение:
Учитель собирается дать детям задачу следующего вида. Он сообщит им, что он задумал многочлен $P(x)$ степени 2017 с целыми коэффициентами, старший коэффициент которого равен 1. Затем он сообщит им $k$ целых чисел $n_1$, $n_2$, $\ldots$, $n_k$ и отдельно сообщит значение выражения $P(n_1)P(n_2)\ldots P(n_k)$. По этим данным дети должны найти многочлен, который мог бы задумать учитель. При каком наименьшем $k$ учитель сможет составить задачу такого вида так, чтобы многочлен, найденный детьми, обязательно совпал бы с задуманным?
Ответ:
Решение:
Назовём многочлен $P(x)$ бицелозначным, если числа $P(k)$ и $P'(k)$ целые при любом целом $k$. Пусть $P(x)$ — бицелозначный многочлен степени $d$, и пусть $N_d$ — произведение всех составных чисел, не превосходящих $d$ (произведение пустого множества сомножителей считаем равным 1). Докажите, что старший коэффициент многочлена $N_d\cdot P(x)$ — целый.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости вершины выпуклого четырехугольника имеют целые координаты и лежат на графике многочлена с целыми коэффициентами. Докажите, что если диагонали этого четырехугольника перпендикулярны, то они равны между собой.
Ответ:
Решение:
Дан многочлен $f$ третьей степени с целыми коэффициентами, причём старший коэффициент $f$ равен 1 или $-1$. Известно, что $f$ имеет три различных корня, каждый из которых равен квадрату натурального числа. Докажите, что в последовательности значений $|f(1)|$, $|f(2)|$, $|f(3)|$ и т. д. встретится квадрат натурального числа.
Ответ:
Решение:
Возрасты трёх братьев — это различные натуральные числа. Произведение их возрастов сейчас равно 18. А через год произведение их возрастов будет равно 60. Сколько лет среднему брату сейчас?
Ответ:
Решение:
В доме на всех этажах во всех подъездах равное количество квартир (больше одной). Также во всех подъездах поровну этажей. При этом количество этажей больше количества квартир на этаже, но меньше, чем количество подъездов. Сколько в доме этажей, если всего квартир 715?
Ответ:
Решение:
На столе лежали карточки с цифрами от 1 до 9 (всего 9 карточек). Катя выбрала четыре карточки так, что произведение цифр на двух из них равно произведению цифр на двух других. Затем Антон забрал ещё одну карточку со стола. В итоге на столе остались лежать карточки с цифрами 1, 4, 5, 8. Карточку с какой цифрой забрал Антон?
Ответ:
Решение:
Произведение девяти последовательных натуральных чисел делится на 1111. Какое наименьшее возможное значение может принимать среднее арифметическое этих девяти чисел?
Ответ:
Решение:
Если разделить 2014 на 105, то в частном получится 19 и в остатке тоже 19. На какие ещё натуральные числа можно разделить 2014, чтобы частное и остаток совпали? (Укажите все возможные варианты и докажите, что других нет.)
Ответ:
Решение:
Найдите какую-нибудь пару натуральных чисел $a$ и $b$, б\'{о}льших 1, удовлетворяющих уравнению $a^{13}\cdot b^{31}=6^{2015}$.
Ответ:
Решение:
По определению $n!=1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot n$. Докажите, что выражение $1008!\cdot1009!\cdot2017!\cdot2018!$ не является квадратом натурального числа.
Ответ:
Решение:
Натуральное число $n$ назовём интересным, если $2n$ является точным квадратом, а $15n$ — точным кубом. Найдите наименьшее интересное число.
Ответ:
Решение:
Натуральное число $n$ назовём хорошим, если 2020 при делении на $n$ даёт остаток 22. Сколько существует хороших чисел?
Ответ:
Решение:
Представьте число 32 как произведение трёх целых множителей, сумма которых равна 3. Чему равен меньший из множителей?
Ответ:
Решение: