Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1597
На доску записывают пары чисел. Сначала на доску записали пару чисел $(1,2)$. Если на доске написана пара чисел $(a,b)$, то на доску можно дописать пару $(-a,-b)$, а также пару $(-b,a+b)$. Кроме того, если на доске написаны пары чисел $(a,b)$ и $(c,d)$, то на доску можно дописать пару $(a+c,b+d)$. Могла ли через некоторое время на доске оказаться пара $(2022,2023)$? Порядок чисел в паре существенен, например, пары чисел $(1,2)$ и $(2,1)$ считаются различными.
Ответ:
Решение:
Можно ли 2026 чисел $1+\sqrt{2}$, $1+2\sqrt{2}$, $\ldots$, $1+2026\sqrt{2}$ разбить на две непустые группы так, чтобы произведения чисел в группах имели одинаковую дробную часть?
Ответ:
Решение:
Саша поставил фишку в одну из точек координатной плоскости. За одну операцию разрешается переместить фишку, расположенную в точке с координатами $(a_i;b_i)$, в другую точку $(a_{i+1};b_{i+1})$, если уравнение прямой, соединяющей эти точки, имеет вид $y=a_ix+c_i$ (где $i$ — номер операции). Может ли после нескольких таких операций фишка вернуться в исходную точку?
Ответ:
Решение:
У Кати есть $2n$ катушек с лентами ($n$ — натуральное число). Изначально на катушках намотано $1^2, 2^2, \ldots, (2n)^2$ дециметров ленты соответственно. Каждый час Катя выбирает натуральное число $i$ и отрезает по $i$ дециметров ленты от всех катушек, на которых осталось не менее $i$ дециметров ленты. Через некоторое время все катушки, на которых изначально было нечётное количество дециметров ленты, оказались пустыми. Докажите, что в этот момент длина оставшейся ленты на каждой из остальных катушек меньше $4n$ дециметров.
Ответ:
Решение:
Пусть $n\gt 1$ — натуральное число. Выпишем дроби $\frac{1}{n}$, $\frac{2}{n}$, $\ldots$, $\frac{n-1}{n}$ и приведём каждую к несократимому виду; сумму числителей полученных дробей обозначим через $f(n)$. При каких натуральных $n\gt 1$ числа $f(n)$ и $f(2015n)$ имеют разную чётность?
Ответ:
Решение:
Изначально на стол кладут 100 карточек, на каждой из которых записано по натуральному числу; при этом среди них ровно 28 карточек с нечётными числами. Затем каждую минуту проводится следующая процедура. Для каждых 12 карточек, лежащих на столе, вычисляется произведение записанных на них чисел, все эти произведения складываются, и полученное число записывается на новую карточку, которая добавляется к лежащим на столе. Можно ли выбрать исходные 100 чисел так, что для любого натурального $d$ на столе рано или поздно появится карточка с числом, кратным $2^d$?
Ответ:
Решение:
Изначально на стол положили 100 карточек, на каждой из которых записано по натуральному числу; при этом было ровно 43 карточки с нечётными числами. Затем каждую минуту проводилась следующая процедура. Для каждых трёх карточек, лежащих на столе, вычислялось произведение записанных на них чисел, все эти произведения складывались, и полученное число записывалось на новую карточку, которая добавлялась к лежащим на столе. Через год после начала процесса выяснилось, что на столе есть карточка с числом, кратным $2^{10000}$. Докажите, что число, кратное $2^{10000}$, было на одной из карточек уже через день после начала.
Ответ:
Решение:
Изначально на доску выписали числа $1-\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$ и $1+\sqrt{2}$. Каждую минуту с доски стираются все три написанных на ней числа $x$, $y$ и $z$, а вместо них на доску записываются числа $x^2+xy+y^2$, $y^2+yz+z^2$ и $z^2+zx+x^2$. Могут ли в некоторый момент все три числа на доске оказаться рациональными?
Ответ:
Решение:
Изначально на доске написана пара чисел $(1,1)$. Если для некоторых $x$ и $y$ на доске написана одна из пар $(x,y-1)$ и $(x+y,y+1)$, то можно дописать другую. Аналогично, если на доске написана одна из пар $(x,xy)$ и $\left(\frac{1}{x},y\right)$, то можно дописать другую. Докажите, что в каждой выписанной паре первое число будет положительным.
Ответ:
Решение:
В компании некоторые пары людей дружат (если $A$ дружит с $B$, то и $B$ дружит с $A$). Оказалось, что при любом выборе 101 человека из этой компании количество пар дружащих людей среди них нечётно. Найдите наибольшее возможное количество человек в такой компании.
Ответ:
Решение:
В вершины правильного 100-угольника поставили 100 фишек, на которых написаны номера $1, 2, \ldots, 100$, именно в таком порядке по часовой стрелке. За ход разрешается обменять местами некоторые две фишки, стоящие в соседних вершинах, если номера этих фишек отличаются не более чем на $k$. При каком наименьшем $k$ серией таких ходов можно добиться расположения, в котором каждая фишка сдвинута на одну позицию по часовой стрелке (по отношению к своему начальному положению)?
Ответ:
Решение:
В компании некоторые пары людей дружат (если $A$ дружит с $B$, то и $B$ дружит с $A$). Оказалось, что среди каждых 100 человек в компании количество пар дружащих людей нечётно. Найдите наибольшее возможное количество человек в такой компании.
Ответ:
Решение:
С одной стороны теннисного стола выстроилась очередь из $n$ девочек, а с другой — из $n$ мальчиков. И девочки, и мальчики пронумерованы числами от 1 до $n$ в том порядке, как они стоят. Первую партию играют девочка и мальчик с номерами 1, а далее после каждой партии проигравший встаёт в конец своей очереди, а победивший играет со следующим. Через некоторое время оказалось, что каждая девочка сыграла ровно одну партию с каждым мальчиком. Докажите, что если $n$ нечётно, то в последней партии играли девочка и мальчик с нечётными номерами.
Ответ:
Решение:
Квадрат $100\times100$ разбит на квадраты $2\times2$. Потом его разбивают на доминошки (прямоугольники $1\times2$ и $2\times1$). Какое наименьшее количество доминошек могло оказаться внутри квадратов разбиения?
Ответ:
Решение:
В каждой строке таблицы $100\times n$ в некотором порядке стоят числа от 1 до 100, числа в строке не повторяются (в таблице $n$ строк и 100 столбцов). Разрешается поменять местами в строке два числа, отличающиеся на 1, если они не стоят рядом. Оказалось, что с помощью таких операций нельзя получить двух одинаковых строк. При каком наибольшем $n$ это возможно?
Ответ:
Решение:
Изначально в строку выписывают 250 букв — 125 букв А и 125 букв Б в некотором порядке. Затем за одну операцию можно взять любой кусок из нескольких подряд стоящих букв, среди которых поровну букв А и Б, и переставить буквы в этом куске в обратном порядке, поменяв в этом куске все буквы А на буквы Б и буквы Б на буквы А. (Например, из строки А$\underbrace{\text{БАББАА}}$Б можно одной операцией получить строку А$\underbrace{\text{ББААБА}}$Б.) Можно ли выписать исходную строку и совершить несколько операций так, чтобы в результате на доске оказалась та же строка, буквы которой записаны в обратном порядке?
Ответ:
Решение:
Пару многочленов $F(x,y)$ и $G(x,y)$ с целыми коэффициентами назовём важной, если из делимости на 100 обеих разностей $F(a,b)-F(c,d)$ и $G(a,b)-G(c,d)$, где $a$, $b$, $c$, $d$ — целые, следует, что числа $a-c$ и $b-d$ делятся на 100. Существует ли такая важная пара многочленов $P(x,y)$, $Q(x,y)$, что пара многочленов $P(x,y)-xy$ и $Q(x,y)+xy$ также является важной?
Ответ:
Решение:
Петя выбрал 100 попарно различных положительных чисел, меньших 1, и расставил их по кругу. Затем он проделывает с ними операции. За одну операцию можно взять три стоящих подряд (именно в таком порядке) числа $a$, $b$, $c$ и заменить число $b$ на $a-b+c$. При каком наибольшем $k$ Петя мог выбрать исходные числа и сделать несколько операций так, чтобы после них среди чисел оказалось $k$ целых?
Ответ:
Решение:
Некоторые рёбра выпуклого многогранника удалось покрасить в красный цвет так, что в каждую вершину входит ровно два красных ребра, причём эти ребра лежат в одной грани. Кроме того, в каждой грани оказалось не более двух красных ребер. Сколько вершин может быть в таком многограннике?
Ответ:
Решение:
Как из 13 прямоугольников размерами $1\times1$, $2\times1$, $3\times1$, …, $13\times1$ составить прямоугольник, у которого все стороны больше 1?
Ответ:
Решение: