Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 385
Вася расставил по кругу все натуральные числа от 1 до 100 в каком-то порядке. Скажем, что число хорошо стоит, если соседнее с ним число по часовой стрелке больше, чем соседнее с ним число против часовой стрелки. Могло ли оказаться, что хорошо стоят по крайней мере 99 чисел?
Ответ:
Решение:
В каждую клетку таблицы размером $6\times6$ записали некоторое положительное число (не обязательно целое). Оказалось, что в любой фигурке из четырёх клеток таблицы в форме буквы «Г» произведение всех стоящих там чисел равно 100. В левом верхнем углу стоит число 2. Какое число стоит в правом верхнем углу (укажите все возможности)?
Ответ:
Решение:
Назовем пару различных натуральных чисел хорошей, если одно из них делится нацело на другое. Найдите такие 20 натуральных чисел, среди которых нет равных, что если выписать все возможные пары этих чисел, то количество хороших среди них будет равно 101. (Каждая пара записывается один раз. Порядок чисел в парах не учитывается, то есть пары $(a,b)$ и $(b,a)$ считаются за одну.)
Не забудьте объяснить, почему найденные вами числа действительно дают ровно 101 хорошую пару, не больше и не меньше. Ответы без объяснения не засчитываются.
Не забудьте объяснить, почему найденные вами числа действительно дают ровно 101 хорошую пару, не больше и не меньше. Ответы без объяснения не засчитываются.
Ответ:
Решение:
Из Ёлкино в Палкино с одинаковой скоростью и равными интервалами едут грузовики, другой транспорт там не ездит. Петя и Вася вышли из Палкина в разное время и шли прямо по дороге в Ёлкино с постоянными скоростями. Петя по дороге из Палкина в Ёлкино встретил 10 грузовиков, а Вася — 9 грузовиков. Мог ли Петя идти быстрее Васи?
Ответ:
Решение:
В каждом столбце таблицы $10\times10$ записаны сверху вниз в порядке возрастания степени двойки: \[ 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512. \] Как пройти из какой-либо клетки верхней строки таблицы в какую-либо клетку нижней, сдвигаясь на каждом ходу на клетку вправо или на клетку вниз, чтобы сумма чисел во всех пройденных клетках равнялась 2026? Достаточно найти один пример.
Ответ:
Решение:
Петя утверждает, что он написал 10 подряд идущих натуральных чисел, и оказалось, что среди всех цифр, используемых в этих числах, каждая цифра (от 0 до 9) встречается одно и то же количество раз. Могли ли слова Пети оказаться правдой?
Ответ:
Решение:
Существуют ли такие два числа, что первое больше второго в 2016 раз, а сумма его цифр меньше суммы цифр второго в 2016 раз?
Ответ:
Решение:
У уголка из трёх клеток центральной назовём клетку, соседнюю по стороне с двумя другими. Существует ли клетчатая фигура, которую можно разбить на уголки из трех клеток тремя способами так, чтобы каждая ее клетка в одном из разбиений была центральной в своем уголке?
Ответ:
Решение:
Существуют ли такие 2022 натуральных числа, что среди них нет одинаковых и произведение любых 1012 из них делится на произведение остальных 1010?
Ответ:
Решение:
На 2025 досках написали по натуральному числу. Разрешается проделывать такую операцию: на одной из досок вместо написанного на ней числа записать его куб, а на каждой из остальных досок вместо написанного на ней числа записать в три раза меньшее число, если оно является целым (если хотя бы одно из чисел после деления на 3 становится нецелым, операция невозможна!). Можно ли написать такие числа и проделать несколько (не меньше одной) операций так, чтобы после последней операции на каждой доске оказалось исходное число?
Ответ:
Решение:
Как разрезать квадрат на 12 треугольников, площади которых относятся как \[ 1:2:3:\ldots:11:12? \]
Ответ:
Решение:
Можно ли за каждую цифру от 0 до 9 назначить цену так, чтобы все 10 цен были различны и нашлись 20 идущих подряд натуральных чисел, каждое из которых, кроме первого, стоит дороже предыдущего? Здесь цена натурального числа — это сумма цен цифр в его записи.
Ответ:
Решение:
Будем называть две клетки клетчатой таблицы соседями, если у них есть общая сторона. Можно ли покрасить в белой таблице размером $10\times10$ клеток 32 клетки в черный цвет так, чтобы у каждой черной клетки было поровну черных и белых соседей, а у каждой белой клетки — не поровну?
Ответ:
Решение:
Существует ли треугольник, у которого длины не совпадающих между собой медианы и высоты, проведенных из одной его вершины, соответственно равны длинам двух сторон этого треугольника?
Ответ:
Решение:
Можно ли вписать в клетки таблицы $3\times3$ различные натуральные числа так, чтобы как в любой строке, так и в любом столбце у записанных там трех чисел произведение делилось на 2024, а сумма была меньше 100?
Ответ:
Решение:
В школе 30 кружков, в каждом занимаются 40 детей. Для каждого $i=1, 2, \ldots, 30$ обозначим через $n_i$ количество детей, занимающихся ровно в $i$ кружках. Докажите, что в этой же школе можно организовать 40 кружков с 30 детьми в каждом так, чтобы числа $n_i$ для этих новых кружков были бы теми же самыми.
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $n$. За одну операцию можно либо вычесть из имеющегося числа любое натуральное число, меньшее его наименьшего простого делителя, либо разделить его на его наименьший простой делитель. Существует ли такое составное $n$, что из него нельзя получить простое число менее, чем за 2021 операцию?
Ответ:
Решение:
В квадратной таблице $2021\times2021$ стоят натуральные числа. Можно выбрать любой столбец или любую строку в таблице и выполнить одно из следующих действий:
1) прибавить к каждому выбранному числу 1;
2) разделить каждое из выбранных чисел на какое-нибудь натуральное число.
Можно ли за несколько таких действий добиться того, чтобы каждое число в таблице было равно 1?
1) прибавить к каждому выбранному числу 1;
2) разделить каждое из выбранных чисел на какое-нибудь натуральное число.
Можно ли за несколько таких действий добиться того, чтобы каждое число в таблице было равно 1?
Ответ:
Решение:
Докажите, что для любого целого неотрицательного числа $k$, не превосходящего $\dfrac{2022\cdot2021}{2}$, существуют такие 2022 числа, что все их $\dfrac{2022\cdot2021}{2}$ попарные суммы различны и среди этих сумм ровно $k$ положительных.
Ответ:
Решение:
На дискотеку пришли 42 человека: мальчики и девочки. Каждая девочка потанцевала со всеми мальчиками, кроме четырёх, а каждый мальчик потанцевал со всеми девочками, кроме трёх. Сколько мальчиков было на танцах?
Ответ:
Решение: