Поиск задач

Окружность радиуса 2, вписанная в треугольник $ABC$, касается стороны $BC$ в точке $D$. Окружность радиуса 4 касается продолжения сторон $AB$ и $AC$, а также стороны $BC$ в точке $E$. Найдите площадь треугольника $ADE$, если величина угла $ACB$ равна $120^\circ$.

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$, сторона $AC$ равна $\sqrt2$. Описанная около треугольника $ABD$ окружность проходит через центр окружности, вписанной в треугольник $ACD$. Найдите площадь треугольника $ACD$, если $R_1:R_2=\sqrt3$, где $R_1$, $R_2$ — радиусы окружностей, описанных около треугольников $ABD$ и $ACD$ соответственно.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ длина биссектрисы угла $A$ равна 4, угол $A=60^\circ$. На серединном перпендикуляре к катету $CB$ в точке $Q$ лежит центр окружности, которая касается прямых $AC$ и $AB$ в точках $K$ и $M$ соответственно. Найдите площадь треугольника $OQM$, где точка $O$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности.

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$. Известно, что центры вписанной в треугольник $ABD$ и описанной около треугольника $ABC$ совпадают. Найдите $CD$, если $AC=\sqrt5+1$. Ответ не должен включать обозначения тригонометрических функций и обратных к ним.

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$. Известно, что центры вписанной в треугольник $ABD$ и описанной около треугольника $ABC$ совпадают. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $CD=4$. Ответ не должен включать обозначения тригонометрических функций и обратных к ним.

Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается стороны $AB$ в точке $M$, а стороны $AC$ — в точке $K$. На стороне $AB$ выбирается точка $N$ так, что отрезок $MK$ делит отрезок $CN$ пополам. Найдите длину отрезка $AN$, если $AB=8$, $AC=7$, $BC=6$.

В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $60^\circ$, отрезок $CH$ — высота. Окружность с центром в точке $O_1$ и радиусом $R=\frac{\sqrt{39}}{3}$ описана около треугольника $ABC$. В треугольник $BCH$ вписана окружность с центром в точке $O_2$ и радиусом $r=\sqrt3-1$. Найдите длину $O_1O_2$.

В треугольник $ABC$ со сторонами $AB=5$, $BC=8$, $AC=7$ вписана окружность с центром в точке $O$, которая касается сторон $AC$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. На прямой $MN$ отмечена точка $K$ так, что угол $OAK$ равен $60^\circ$. Найдите длину отрезка $KN$.

Дизайнер спроектировал офисное помещение с основанием в виде прямоугольного треугольника $ABC$, угол $C$ прямой. С помощью потолочного освещения помещение разбито на зоны следующим образом: большой светильник $P$ освещает площадь $S$, ограниченную окружностью, которая вписана в треугольник $ABC$. Если к этой окружности провести внутри треугольника $ABC$ касательные, параллельные сторонам комнаты, то получатся ещё три треугольника при вершинах $A$, $B$ и $C$, в которые можно вписать маленькие окружности, ограничивающие площади $S_A$, $S_B$, $S_C$. Эти площади освещаются дополнительными светильниками $P_A$, $P_B$, $P_C$. Найдите радиусы всех окружностей и освещённость каждой зоны, если площадь треугольника равна $S_{ABC}=240$ м$^2$, гипотенуза $AB=34$ м, величина угла $BAC$ меньше величины угла $CBA$, а показатели световой отдачи (яркости) светильника $P$ составляет 51840 лм, светильника $P_A$ — 28512 лм, светильника $P_B$ — 5670 лм и светильника $P_C$ — 1620 лм. Освещённость $E_x$ площади $S_x$ светильником $P_x$ с показателем световой отдачи $F_x$ рассчитывается по формуле $E_x=\dfrac12\cdot\dfrac{F_x}{S_x}$ лк, где $\dfrac12$ — поправочный коэффициент, лк — люкс, лм — люмен.

В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $75^\circ$. На стороне $AC$ выбирается точка $K$. Около треугольников $ABK$ и $CBK$ описываются окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если наименьшая из возможных длина отрезка $O_1O_2$ равна 2 см.

Первая окружность с центром в точке $O$ вписана в треугольник $ABC$. Точки $A$ и $B$ лежат на второй окружности с центром в той же точке $O$. Прямая $AC$ пересекает вторую окружность в точке $D$ ($D\ne A$), а прямая $BC$ пересекает вторую окружность в точке $E$ ($B\ne E$). Известно, что угол $ABC$ равен углу $CAE$. Найдите косинус угла $BAC$. Ответ не должен включать обозначения тригонометрических функций и обратных к ним.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C=90^\circ$) на стороне $BC$ выбирается точка $N$ так, что окружность, вписанная в треугольник $ACN$, касается стороны $AN$ в точке $K$ и $\angle CDK=18^\circ$, где точка $D$ — середина $AB$. Найдите величину $\angle CAN$.

Отрезки $AD$ и $AE$ являются соответственно медианой и высотой треугольника $ABC$, точка $O$ — центр вписанной в этот треугольник окружности, $F$ — точка пересечения прямых $AE$ и $OD$. Найдите отношение периметра треугольника $ABC$ к стороне $BC$, если $FE=3AF$.

Около треугольника $ABC$ описана окружность $\omega_1$. Точка $O$ — центр окружности $\omega_2$, вписанной в треугольник $ABC$. Прямая $AO$ пересекает $BC$ в точке $K$ и второй раз окружность $\omega_1$ в точке $N$. Найдите длину $AO$, если $AB=1{,}5BK$ и $KN=4$.

На окружности последовательно в указанном порядке расположены четыре точки $A$, $B$, $C$, $D$ (хорды $AC$ и $BD$ пересекаются). Точки $P$, $S$, $T$ — середины хорд $AB$, $BC$ и $CD$ соответственно, $\angle BPS=20^\circ$. Найти величину $\angle STD$ в градусах.

Правильный треугольник вписан в окружность радиуса $R=\dfrac{2}{\sqrt{\sqrt2+1}}$. Точка $P$, отличная от вершин треугольника, расположена на окружности. Найдите сумму расстояний от точки $P$ до двух ближайших вершин вписанного треугольника, если известно, что хорда, соединяющая эту точку с третьей вершиной треугольника, образует угол $\alpha=22{,}5^\circ$ с диаметром, проведённым из третьей вершины.

Правильный треугольник вписан в окружность радиуса $R=\dfrac{2\sqrt2}{\sqrt3+1}$. Точка $P$, отличная от вершин треугольника, расположена на окружности. Найдите сумму расстояний от точки $P$ до двух ближайших вершин вписанного треугольника, если известно, что хорда, соединяющая эту точку с третьей вершиной треугольника, образует угол $\alpha=15^\circ$ с диаметром, проведённым из третьей вершины.

На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $K$ так, что $BK=5$, $KC=4$. Около треугольника $ABK$ описана окружность с центром в точке $O$, причем площадь треугольника $AOC$ равна $2\sqrt{15}$. Через точку $C$ и середину $D$ стороны $AB$ проведена прямая, которая пересекает окружность в точке $P$, причем $CP\gt CD$. Найдите $CD$, если $\angle APB=\angle BAC$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ высоты $AH_1$ и $BH_2$ пересекаются в точке $H$. Окружность $\omega$, описанная около треугольника $ABH$, пересекает сторону $BC$ в точке $N$. Известно, что $BN=12$, $CN=4$. Найти радиус окружности $\omega$.

На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $K$ так, что $AK=8$, $BK=24$, $KC=3$. Около треугольника $ABK$ описана окружность. Через точку $C$ и середину $D$ стороны $AB$ проведена прямая, которая пересекает окружность в точке $P$, причем $CP\gt CD$. Найдите $DP$, если $\angle APB=\angle BAC$.