Поиск задач

В некоторые из 40 конвертов положили по одной открытке. Известно, что количество положенных открыток чётно. За одну операцию можно выбрать любые два конверта и узнать, есть ли в этих конвертах хотя бы одна открытка. За какое наименьшее количество таких операций можно гарантированно найти какой-нибудь конверт с открыткой?

Найдите количество пар целых чисел $(x;y)$, удовлетворяющих уравнению $4x^2-y^2=31^{405}$.

Натуральное число $N$ имеет 198 различных натуральных делителей (включая единицу и само число $N$), а количество различных натуральных делителей числа $13N$ (включая единицу и само число $13N$) равно 264. Определите минимально возможное значение $N$.

Олег выписал в строку 110 последовательных натуральных чисел, больших $50\,000$. Оказалось, что 12-е число делится на 12, 75-е — на 75, а 110-е — на 110. Какое наименьшее число могло быть среди выписанных Олегом чисел?

Расстояние между центрами двух квадратов со стороной 1 равно $0{,}8$, а одна из сторон первого квадрата параллельна одной из сторон второго. Какую наименьшую площадь может иметь их общая часть?

В бесконечной числовой последовательности $x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n,\ldots$ не все члены равны между собой. Для всех $n\in\mathbb{N}$ справедливо соотношение \[ 3x_{n+2}-4x_{n+1}+x_n=0. \] Найдите наибольшее возможное значение выражения $\dfrac{x_{2022}-x_{2020}}{x_{2025}-x_{2021}}$. При необходимости ответ округлите до трёх знаков после запятой.

В треугольнике $ABC$ со стороной $BC=3\sqrt{193}$ ортогональные проекции медианы $BM$ на прямые $AB$ и $AC$ равны и имеют длину $25{,}2$. Найдите длину биссектрисы $AL$ треугольника $ABC$.

В треугольной пирамиде боковые грани, имеющие площади \[ \dfrac{1625}{4},\quad \dfrac{1885}{4},\quad 585, \] образуют равные углы с основанием. Площадь основания равна 360. Какой наименьший объём может иметь такая пирамида? Если необходимо, ответ округлите до трёх знаков после запятой.

Площади трёх земельных участков образуют геометрическую прогрессию. С трёх участков берётся налог общей суммы $S$, которая распределяется пропорционально площади участков. Площадь каждого участка увеличили на 13 гектаров, в результате чего площадь большего участка стала ровно в 2 раза больше площади меньшего. Если теперь налог той же суммы $S$ распределить по трём участками пропорционально их площади, то окажется, что с меньшего участка надо взять на 3,5 тысячи рублей больше налога, а с большего на 4 тысячи рублей меньше налога. Найдите первоначальную площадь наименьшего участка. Ответ укажите в гектарах.

Про вещественное число $x$ известно, что \[ \sin x+1001\cos x=1000. \] Найдите максимальное значение выражения $|1001\sin x-\cos x|$. Ответ округлите до трёх знаков после запятой.