Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 10
· весь вариант по порядку
В некотором государстве $35$ городов. Каждая пара городов соединена авиарейсом одной из двух авиакомпаний. Оказалось, что из каждого города выходит ровно $12$ авиарейсов первой авиакомпании. Назовём тройку городов $A$, $B$, $C$ замкнутой, если все три авиарейса $AB$, $BC$, $CA$ осуществляются одной авиакомпанией. Каково наибольшее возможное количество замкнутых троек городов может быть в этом государстве?
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее значение параметра $p$, для которого при всех $0\leqslant x\leqslant 1$, $0\leqslant y\leqslant 2$, $0\leqslant z\leqslant 7$ выполняется неравенство $xyz+p\geqslant 19x+7y+2z$.
Ответ:
Решение:
Бесконечная геометрическая прогрессия состоит из натуральных чисел. Оказалось, что произведение первых шести её членов равно $40^{612}$. Найдите количество таких прогрессий.
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное $a$ такое, что выражение $a(a+16)(a+32)(a+48)(a+64)$ делится на $10^7$.
Ответ:
Решение:
Две окружности $\Omega$ и $\omega$ радиусов $R=13{,}25$ и $r=9$ касаются внутренним образом. Хорда $AB$ окружности $\Omega$ касается окружности $\omega$ в точке $C$. Найдите длину хорды $AB$, если известно, что $AC:CB=1:2$.
Ответ:
Решение:
Известно, что для положительных чисел $a$, $b$, $c$ каждое из трёх уравнений \[ ax^2+10bx+c=0,\quad bx^2+10cx+a=0,\quad cx^2+10ax+b=0 \] имеет хотя бы один действительный корень. Каково наименьшее значение произведения корней второго уравнения, если произведение корней первого уравнения равно $9$? (Если уравнение имеет два совпадающих корня, то произведение считается равным квадрату этого корня.)
Ответ:
Решение:
Даны парабола $y=4x^2$ и прямая $y=x-0{,}5$. Какую наибольшую площадь может иметь квадрат, две вершины которого лежат на параболе, а две другие — на этой прямой?
Ответ:
Решение:
Треугольная пирамида $SABC$ ($S$ — вершина) обладает следующими свойствами:
1) длины проекций боковых рёбер на плоскости боковых граней, не содержащих эти рёбра (то есть проекция ребра $SA$ на плоскость грани $SBC$, и так далее), равны между собой;
2) длины проекций боковых рёбер на плоскость основания пирамиды также равны между собой.
Известно, что $\cos\angle ASB=-\dfrac{15}{17}$, $AB=6$. Найдите сумму периметров оснований всех пирамид, обладающих указанными свойствами.
1) длины проекций боковых рёбер на плоскости боковых граней, не содержащих эти рёбра (то есть проекция ребра $SA$ на плоскость грани $SBC$, и так далее), равны между собой;
2) длины проекций боковых рёбер на плоскость основания пирамиды также равны между собой.
Известно, что $\cos\angle ASB=-\dfrac{15}{17}$, $AB=6$. Найдите сумму периметров оснований всех пирамид, обладающих указанными свойствами.
Ответ:
Решение:
Пусть \[ \frac{16\sin^2x-21-8\sqrt7\cos x}{27-16\cos^2x-24\sin x}=1. \] Какое наибольшее значение может принимать $5\sin x$?
Ответ:
Решение:
Какое наибольшее значение может принимать модуль синуса суммы углов, удовлетворяющих системе уравнений: \[ \begin{cases} \mathrm{tg}\,x=\dfrac{20}{9}\cos y,\\ \mathrm{tg}\,y=\dfrac{20}{9}\cos z,\\ \mathrm{tg}\,z=\dfrac{20}{9}\cos x\ ? \end{cases} \]
Ответ:
Решение: