Олимпиада «Физтех»

Какую наименьшую сумму могут иметь девять последовательных натуральных чисел, если эта сумма оканчивается на $1234567$?

Петя и четыре его одноклассника стартовали одновременно в забеге на $100$ метров, и Петя пришёл первым. Через $10$ секунд после начала забега никто ещё не финишировал, и все его участники в сумме пробежали $288$ метров. А когда Петя закончил бег, остальным четырём участникам оставалось пробежать до финиша в сумме $50$ метров. Сколько метров пробежал Петя за $10$ секунд? (Известно, что скорость каждого была постоянной на протяжении всей дистанции.)

В параллелограмме $ABCD$ сторона $BC$ в $3$ раза больше стороны $AB$. Биссектрисы углов $DAB$ и $ABC$ пересекают прямую $CD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите периметр параллелограмма $ABCD$, если $MN=10$.

Вася выписал на доску в строку $1200$ букв, причем количество букв, написанное между любыми двумя гласными буквами, не равно $12$. Какое наибольшее количество гласных букв могло быть выписано?

Приведённый квадратный трёхчлен $f(x)$ таков, что каждое из уравнений $f(x)=2x-5$ и $f(x)=10-4x$ имеет ровно по одному решению. При каком наибольшем значении параметра $a$ уравнение $f(x)=a$ также будет иметь ровно одно решение?

Даны два числа $x\lt y$. Оказалось, что $\sin(\pi x)+\sin(\pi y)=\dfrac{4\sqrt2}{5}$, $\cos(\pi x)+\cos(\pi y)=\dfrac{3\sqrt2}{5}$. Какое наименьшее значение может принимать величина $y-x$?

Даны равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB=BC$) с углом $ACB=41^\circ$ и точка $M$ такая, что отрезки $AM$ и $BC$ пересекаются, а $\angle AMB=15^\circ$, $\angle AMC=49^\circ$. Найдите $\angle MAC$.

Известно, что \[ \dfrac{1}{x-y}+\dfrac{1}{y-z}+\dfrac{1}{z-x}=1{,}5. \] Какое наибольшее значение может принимать сумма \[ \dfrac{1}{(x-y)^2}+\dfrac{1}{(y-z)^2}+\dfrac{1}{(z-x)^2}\,? \]

Пусть $f(x)=ax^2+bx+2$, $a\lt 0$ и $f(10)=0$. Какое наибольшее количество целочисленных решений может иметь неравенство $ax^4+bx^2+2\gt 0$?

Окружность, диаметром которой является боковая сторона $AB$ прямоугольной трапеции $ABCD$, касается боковой стороны $CD$ в точке $K$. Диагонали трапеции пересекаются в точке $L$. Найдите длину отрезка $KL$, если длины оснований трапеции равны $3$ и $5$.

Рассмотрим последовательность натуральных чисел, построенную по следующему правилу: $x_1=14$, $x_2=20$, а $x_{n+1}$ — наименьшее составное число, которое больше, чем $2x_n-x_{n-1}$. Найдите $x_{30001}$.

Сколькими способами можно разменять $110\,000$ рублей монетами в $1$, $2$ и $5$ рублей?